Глава 4. Повторение испытаний.

Если производятся испытания, при которых вероятность появ­ления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относитель­но события А. В рамках этой главы рассматриваются независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

4.1. Формула Бернулли.

Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна

,

или

,

где q = 1 — p.

Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит: а) ме­нее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, — находят соответственно по формулам:

Решение типовой задачи

Задача 1. Два равносильных шахматиста играют в шах­маты. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не прини­маются)?

Решение. Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша р = 1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли. Найдем вероятность того, что две из четырех партии будут выиграны:

Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:

Так как , то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.

Задачи.

4.1. Техническая система состоит из пяти узлов. Вероятность нарушения режима работы в течение времени t для каждого узла равна 0,2. Система выходит из строя, если нарушения режима работы произойдут не менее, чем в трех узлах. Найти вероят­ность выхода из строя этой системы за время t, если нарушение режима работы для каждого узла не зависит от состояния рабо­ты в других узлах. Какие три события должны иметь место для того, чтобы система вышла из строя? Совместны ли эти события? Чему равны вероятности этих событий?

4.2. По самолету производится четыре независимых выстрела. Вероятность попадания в самолет при одном выстреле равна 0,1. Чтобы вывести самолет из строя, достаточно трех попаданий. При одном попадании вероятность вывода самолета из строя равна 0,6, при двух попаданиях — 0,8. Найти вероятность того, что самолет будет выведен из строя. Рассматривая событие А — ровно два попадания при четырех выстрелах и событие В — самолет сбит в результате двух попаданий, определить, что выражает событие С=АВ и чему равна вероятность этого события. Чему равна вероятность события D=EF, где событие Е — ровно одно попадание при четырех выстрелах, событие F — самолет сбит в результате одного попадания?

4.3. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероят­ностью 0,01 имеет дефект. Каков должен быть объем случайной выборки (с возвращением), чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно дефектное изделие была не менее 0,95? Какое событие противоположно тому событию, что в случайной выборке будет хотя бы одно дефектное изделие, и чему равна вероятность противоположного события? Чему равна вероятность того, что в и независимых испытаниях не появится событие А, если известно, что в отдельном испытании событие А появляется с вероятностью р?

4.4. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,05. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы наивероят­нейшее число нестандартных деталей в ней было равно 55? Каким неравенством связано наивероятнейшее число появления некоторо­го события А с вероятностью р появления этого события в отдельном опыте?

4.5. Вероятность изготовления изделия отличного качества равна 0,9. Изготовлено 50 изделий. Чему равно наивероятнейшее число изделий отличного качества и вероятность такого числа из­делий отличного качества? Чему равно наивероятнейшее число изделий отличного качества? По какой формуле определяется вероятность того, что в п независимых опытах некоторое событие А появится ровно m раз, если в отдельном опыте это событие появляется с вероятностью р?

4.6. По цели производится три независимых выстрела. Веро­ятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,1, при вто­ром — 0,2 и при третьем — 0,3. Для поражения цели достаточно двух попаданий. При одном попадании цель поражается с веро­ятностью 0,6. Найти вероятность поражения цели. Чему равны вероятности одного, двух и трех попаданий? Чему равна вероятность события С=АВ, где событие А — ровно одно попадание при трех выстрелах, событие В — поражение цели при одном по­падании? Совместны ли события одного, двух и трех попаданий?

4.7. Вероятности перегорания первой, второй, третьей и чет­вертой ламп равны соответственно 0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Вероятность выхода прибора при перегорании одной лампы равна 0,2; двух ламп — 0,4; трех ламп — 0,6 и четырех ламп — 0,8. Определить вероятность выхода прибора из строя. Чему равны вероятности того, что перегорели одна, две, три, четыре лампы? Чему равна вероятность того, что перегорели одна, две, три, четыре лампы и прибор вышел из строя?

4.8. По данным технического контроля в среднем 2% изготовляемых на заводе автоматических станков нуждается в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из шести изготовленных станков четыре станка нуждаются в допол­нительной регулировке?

4.9. Вероятность того, что стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Чему равна вероятность того, что при восьми выстрелах будет шесть попаданий в десятку?

4.10. Вероятность попадания в десятку при одном выстреле равна 0,3. Сколько должно быть произведено независимых вы­стрелов, чтобы вероятность по меньшей мере одного попадания в десятку была больше 0,9?

4.11. По цели производится три независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Для поражения цели достаточно двух попаданий. При одном попадании цель практически не поражается. Найти вероятность поражения цели.

4.12. По цели производится пять независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Для получения зачета по стрельбе требуется не менее трех попаданий. Найти вероятность получения зачета.

4.13. Рабочий обслуживает десять однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение часа, равна 0,05. Найти вероятность того, что в течение часа этих требований будет от трех до пяти.

4.14. Событие В наступает только в том случае, если событие А появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события В, если вероятность появления события А при одном опыте равна 0,4 и произведено шесть независимых опытов.

4.15. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится семь независимых выстрелов. Найти вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

4.16. Производится стрельба тремя ракетами по кораблю. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Для по­топления корабля достаточно двух попаданий, при попадании одной ракеты корабль тонет с вероятностью 0,7. Найти вероят­ность того, что корабль будет потоплен.

4.17. В мастерской имеется десять моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее восьми моторов работают с полной нагрузкой.

4.18. Вероятность появления события А хотя бы один раз в пяти независимых опытах равна 0,9. Какова вероятность появ­ления события А в одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?

4.19. Вероятность появления события А в каждом из 15 неза­висимых опытов равна 0,3. Определить вероятность появления события А по крайней мере два раза.

4.20. Стрелок стреляет по цели до первого попадания. Найти вероятность того, что у стрелка останется хотя бы один неизрасходованный патрон, если он получил десять патронов и вероятность попадания в цель при каждом выстреле постоянна и рав­на 0,2.

4.21. Производятся испытания прибора. При каждом испытании прибор выходит из строя с вероятностью 0,1. После первого выхода из строя прибор ремонтируется; после второго — призна­ется негодным. Найти вероятность того, что прибор окончательно выйдет из строя точно при шестом испытании.

4.22. Три охотника одновременно выстрелили по волку. Веро­ятности попадания каждым из охотников одинаковы и равны 0,4. Определить вероятность того, что волк будет убит, если известно, что при одном попадании охотники убивают волка с вероятно­стью 0,2, при двух — с вероятностью 0,5 и при трех — с вероятностью 0,8.

4.23. Вероятность изготовления изделия высшего сорта на данном предприятии равна 0,78. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 150 изделий?

4.24. Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений тройки было равно 55?

4.25. Чему равна вероятность наступления события в каждом опыте, если наивероятнейшее число наступлений события А в 160 опытах равно 40?

4.26. Автоматический станок изготовляет 2/3 числа деталей первого сорта и 1/3—-второго сорта. Определить наивероятнейшее число деталей первого сорта и наивероятнейшее число деталей второго сорта среди четырех деталей, отобранных случайным образом, и соответствующие им вероятности.

4.27. Вероятность для данного баскетболиста забросить мяч в корзину при броске равна 0,3. Произведено 12 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

4.28. Прибор подвергается четырем видам испытаний. Первое испытание прибор проходит благополучно с вероятностью 0,9; второе — с вероятностью 0,85; третье — с вероятностью 0,8 и четвертое — с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что прибор пройдет благополучно: а) все четыре испытания; б) ровно два испытания; в) не менее двух испытаний.

4.29. Три стрелка независимо один от другого производят стрельбу по общей мишени. При попадании в мишень стрелку засчитывают десять очков. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого, второго и третьего стрелков соот­ветственно равна 0,4; 0,5 и 0,6. Каждый стрелок делает по одному выстрелу. Найти вероятность того, что стрелки выбивают вместе не менее 20 очков.

4.30. Восемь стрелков независимо один от другого производят стрельбу по общей мишени. Вероятность попадания в мишень для четырех стрелков равна 0,1; для трех — 0,2 и для одного — 0,3. Каждый стрелок делает по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет не менее шести стрелков.

4.31. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

4.32. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

4.33. а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4;

б) событие В появится в случае, если событие А на­ступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступ­ления события В, если будет произведено пять независи­мых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

4.34. Устройство состоит из трех независимо работаю­щих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каж­дого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резерв­ный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устрой­ство отказывает, если работает менее трех элементов.

4.35. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

4.36. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две — правее. Предполагается, что вероятность попа­дания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

4.37. На отрезок АВ длины а наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем х, а три – на расстоянии, большем х. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорцио­нальна длине отрезка и не зависит от его расположения.

4.38. Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек. Найти вероят­ность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.