Глава 1. Случайные события.

Любая современная математическая дисциплина основывается на некоторых исходных понятиях (аксиомах). В теории вероятностей такой аксиоматический подход был введен сравнительно недавно (в 30-х гг.) А.Н. Колмогоровым.

Аксиомы, лежащие в основе этого подхода, отражают и сообщают те свойства понятия вероятности случайных событий, которые использовались на интуитивном уровне с давних времен – с момента зарождения теории вероятностей как теории «азартных игр».

В этой и следующих главах будет показано, что основные понятия и аксиомы теории вероятностей представляют собой математические отражения понятий, хорошо известных любому человеку, наблюдавшему опыты со случайными исходами. Одним из таких понятий является пространство элементарных исходов, введение которого позволяет при решении конкретных практических задач оперировать общим для современной математики аппаратом теории множеств.

1.1. Пространство элементарных исходов.

Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных исходов.

Другими словами, множество исходов опыта образует пространство элементарных исходов, если выполнены следующие требования:

- в результате опыта один из исходов обязательно происходит;

- появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;

- в рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.

В дальнейшем пространство элементарных исходов будем обозначать прописной буквой Ω, а сами элементарные исходы – строчной буквой , снабженной при необходимости индексами. То, что элементпринадлежит Ω, записывают в видеΩ, а тот факт, что множество Ω состоит из элементови только из них, записывают в виде

или в виде

В частности, может содержать конечное число элементарных исходов.

Рассмотрим примеры, поясняющие понятие пространства элементарных исходов.

Пример 1.1. Пусть опыт состоит в однократном подбрасывании монеты. При математическом описании этого опыта естественно отвлечься от несущественных возможностей (например, монета встанет на ребро) и ограничиться только двумя элементарными исходами: выпадением «герба» (можно обозначить этот исход Г,или) и выпадением «цифры» (Ц,или). Таким образом,или.

При двукратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании двух монет) пространство элементарных исходов будет, очевидно содержать 4 элемента, т.е.

,

где -появление «герба» и при первом, и при втором подбрасываниях, и т.д.

Пример 1.2. При однократном бросании игральной кости возможен любой из шести элементарных исходов , …,,где , означает появление i очков на верхней грани кости, т.е.

При двукратном бросании игральной кости каждый из шести возможных исходов при первом бросании может сочетаться с каждым из шести исходов при втором бросании, т.е.

где - исход опыта, при котором сначала выпалоi, а затем j очков.

Нетрудно подсчитать, что пространство элементарных исходов содержит 36 элементарных исходов.

Пример 1.3. Пусть опыт заключается в определении числа вызовов, поступивших на телефонную станцию в течение заданного промежутка времени. Разумеется, реально это число не превышает некоторого значения (определяемого, в частности, пропускной способностью линии связи), но, поскольку это значение может быть достаточно большим, в качестве пространства элементарных исходов можно принять множество целых неотрицательных чисел, т.е.

Пример 1.4. Предположим, что стрелок производит единственный выстрел по плоской мишени. В этом случае естественно отождествить с множеством точек на плоскости или множеством пар (x;y) действительных чисел, где x – абсцисса, а y – ордината точки попадания пули в мишень в некоторой системе координат. Таким образом,

.