24)Множества Операции над ними. Свойства операций. Двойное отрицаниеМножество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Тогда пишут A = B. Операции: основные операции над множествами: пересечение: объединение: Если множества A и B не пересекаются: , то их объединение обозначают также: разность: симметрическая разность: Декартово или прямое произведение: Абсолютное дополнение: Операция объединения множеств коммутативна: ассоциативна: дистрибутивна относительно операции пересечения Пустое множество Операция объединения множеств идемпотентна:

Закон двойного отрицания — положенный в основу классической логики принцип, согласно которому «если неверно, что неверно А, то верно А». Закон двойного отрицания называется также законом снятия двойного отрицания.

25)Последовательность и ее предел. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Основные свойства пределов. Последовательность элементов множества действительных чисел называется числовой последовательностью.

Предел последовательности:y=f(Un), где U₁,U₂,...U_n, а U_n=n/(n²+1)П редел: число а называется пределом переменной x_n, если для каждого “+” как угодно малого числа (эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |x_n-a|<

limx_n=an

Последовательность a_n называется бесконечно малой, если .Последовательность a_n называется бесконечно большой, если Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует. Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела. произведениепределов

26)Пределы последовательности.2 замечательных предела.

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера

1Й, 2й замечательный пределы.

1 й: limsinx/x=1, limx/sinx=1. x0

j

lim((Sin)/)=1

x0

S_OAC<S_{сектораOAC}<S_OCB

S_OAC=1/2*OC*AD, OA=OC=1, то

S_OAC=1/2*OC*OA*Sin=1/2*Sin

S_{сектораOAC}=1/2*OA*OC*=1/2*(т.к. OA=OC)

S_OCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tg=1/2*tg

1/2*Sin<1/2*<1/2tg //*2

sin<<tg//:sin

1</sin<1/cos, =>cos<sin/<1,

limCos<lim((Sin)/)<lim1, по признаку

0 0 существования предела ф-ции lim((Sin)/)=102ой: lim(1+1/n)ⁿ=e2.7183

n

Зная, что 1/n= - б.м.в., то n=1/ и

x 0

lim(1+1/n)^1/=e

0

27)Функция и ее пределы. Теорема о промежуточных функциях

Вторая Теоре́ма Больца́но — Коши́ о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии — это утверждение, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что f(c) = C.

28)Теорема о связи функции и ее предела. Основные свойства предела( предел сумма, произведения, частного)

свойства:Предел суммы равен сумме пределов: предел разности равен разности пределов Предел произведения равен произведению пределов Предел частного равен частному пределов.

29)Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства эквивалентности Если , то функция f называется бесконечно малой при x → x0; если , то функция f называется бесконечно большой при x → x0.

Две бесконечно малые называются эквивалентными, если предел их отношения равен1

. 30) 1 замечательный предел. Раскрытие неопределенности 0/0.(1 предел см 26)

Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя. Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x), то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x), когда предел  конечный или бесконечный.

31)2 замечательный предел для функции. Раскрытие неопределенностей 1 в стп. Бескон. Другие не определенности2ой: lim(1+1/n)ⁿ=e2.7183

n

Зная, что 1/n= - б.м.в., то n=1/ и

x 0

lim(1+1/n)^1/=e

0

Раскрытие /. Второе правило.Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x)=, то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x,x-,x+,xa-,xa+.Неопред-ти вида 0, -, 0^0, 1^, ^0.

Неопр. 0, - сводятся к 0/0 и / путем алгебраических преобразований. А неопр. 0^0, 1^, ^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0

3 2)Функции, непрерывные в точке. Классификация точек разрыва

x=x₀+x, x=x-x₀

y=f(x₀+x)-f(x₀)

Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x₀, если она определена в окрестности этой точки, а limy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).

limy=lim[f(x)-f(x₀)]=limf(x)-limf(x₀)=0, то

limf(x)=limf(x₀)

xx₀

Ф-ция непрерывна в точке х₀, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х₀

Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке. Точки, где функция f(x) не является непрерывной,  называются точками разрыва функции f(x).

Дописать