- •9. Метод с автоматическим выбором шага.
- •19. Система Ван-дер-Поля.
- •21. Метод Розенброка.
- •22. Метод Нумерова.
- •14. Типы уравнений.
- •15. Идея метода сеток.
- •16. Аппроксимационные методы.
- •17. Шаблоны. Явные и неявные шаблоны.
- •18. Теорема Лакса-Рябенького. Аппроксимационность. Устойчивость.
- •29. Условие Куранта, Фридрихса, Леви. Область зависимости.
- •20. Решение уравнения параболического типа. Метод сеток.
- •30. Исследование устойчивости уравнения параболического типа методом Фурье.
- •34. Схема Кранка-Никольсон.
- •38. Метод дробных шагов.
- •39. Схема Дугласа-Ганна.
- •57. Метод Якоби.
- •58. Метод Зейделя.
- •59. Метод переменных направлений.
- •60. Метод верхних релаксаций.
- •54. Метод случайных блужданий.
- •64. Метод прямых.
- •41. Метод релаксаций.
- •65. Вариационные методы.
- •43. Метод Бубнова-Галёркина.
- •67. Метод Ритца.
65. Вариационные методы.
Основная идея метода конечных элементов, базирующаяся на методах Бубнова, Галеркина и Ритца, была предложена Р.Курантом в 1943 г., но осталась незамеченной, опередив потребности практики. В 50 - х годах прошлого века с появлением первых компьютеров возникла необходимость в разработке новых инженерных подходов к численному решению задач со сложной геометрией, в которых области интегрирования разбивались на подобласти. Такие подобласти (носители финитных базисных функций, об этом ниже) и получили название конечных элементов.
Рис. 7.1.
Методы конечных элементов (МКЭ) в настоящее время, пожалуй, самые распространенные в мире численные методы. К их достоинствам относятся:
возможность счета на неравномерных сетках, в двумерном и трехмерном случаях для областей сложной геометрии;
"технологичность" методов (уточнение далее).
Современные МКЭ возникли в 50 - е годы XX века при решении задач теории упругости.
Самая распространенная статическая задача — задача о нагруженной конструкции
а область Ω — сложная. Например, область может иметь вид, представленный на рис. 7.1. Каждая простая подобласть — конечный элемент.
В настоящее время под МКЭ понимают целые семейства вариационных (Ритца) и проекционных (Галеркина или Бубнова - Галеркина) методов.
43. Метод Бубнова-Галёркина.
Рассмотрим две задачи:
|
(7.1) |
|
|
|
(7.2) |
По - прежнему рассматриваем задачи (7.1) и (7.2).
В дальнейшем будет рассмотрен класс дифференциальных операторов. Главный недостаток метода Ритца — применимость лишь к дифференциальным задачам, допускающим вариационную формулировку, т.е. в линейном случае — самосопряженный положительно определенный оператор (все собственные числа положительны).
Наряду с формулировкой (7.1) и (7.2) будем использовать запись, определяющую слабое (обобщенное) решение:
|
(7.8) |
где v — любая функция из рассмотренного ранее функционального пространства , а скалярное произведение определено как
Равенство (7.8) определяет обобщенное решение задачи. Известно, что если u — классическое решение задачи, то оно является обобщенным решением в смысле (7.8). Обратное, по понятным причинам, неверно — в "больше" функций, чем в C1 или C2 . У задачи может существовать обобщенное решение, но не существовать классического.
Рассмотрим конечномерное подпространство пространства с введенным базисом:
— базисные функции в они обязаны обладать теми же свойствами, что и базисные функции для метода Ритца. Рассмотрим теперь для (7.8) конечную систему весовых функций из Вместо (7.8) рассмотрим конечную систему проекций на весовые функции.
Введем также обозначение
|
(7.9) |
здесь R — невязка. Тогда, после подстановки разложения по базисным функциям в (7.8), получим систему соотношений
|
(7.10) |
Минимум невязки в пространстве, определяемом функциями достигается тогда, когда невязка принадлежит его ортогональному дополнению: для всех k . Теперь надо потребовать, чтобы весовые функции образовывали базис в . Естественно в качестве весовых функций использовать уже имеющиеся базисные . Тогда получаем проекционный метод Галеркина.
В итоге для определения коэффициентов разложения по базису из конечных элементов имеем систему соотношений вида