57. Метод Якоби.

Для системы сеточных уравнений, полученных при использовании схемы "крест"

запишем итерационный метод Якоби. Расчетные формулы (верхний индекс, как обычно, показывает номер итерации) для этого метода будут

m, l = 1, ... , M - 1, hM = 1, с условиями на сеточной границе .

Если в явном виде выразить , получим каноническую форму записи сеточного метода, правую часть берем на предыдущей итерации, левую — на текущей:

Количество итераций, требуемое для вычисления решения с точностью ε, оценивается по формуле

58. Метод Зейделя.

Метод Зейделя, учитывающий результаты вычислений на i + 1 итерации, записывается для рассматриваемого уравнения Пуассона

m, l = 1, ... , M - 1, hM = 1, с условиями на сеточной границе

Напомним, что хотя метод Зейделя неявный, но его реализация оказывается простой, если правильно установить последовательность вычислений. В каноническом виде формулы для метода Зейделя есть

Сначала из последнего уравнения, используя граничные условия и , находим Затем, зная , можно аналогично найти и так далее. Значения сеточной функции вычисляются в следующем порядке изменения индексов: (1, 1), (1, 2), ... , (1, M - 1), (2, 1), (2, 2), ... , (2, M - 1), (M - 1, 1), (M - 1, 2), ... , (M - 1, M - 1) . Оценка количества итераций, необходимых для достижения точности ε, есть

Метод Зейделя сходится быстрее метода Якоби, однако число итераций также оценивается как O(N²) = O(L/l)

59. Метод переменных направлений.

Еще большие успехи при попытках ускорить итерационные методы были достигнуты при использовании методов переменных направлений. Можно показать, что решение нестационарной задачи

со стационарными граничными условиями будет стремиться к некоторому стационарному пределу при или при . В этом пункте n — количество шагов по времени при решении рассматриваемого дифференциального уравнения в частных производных разностным методом. В этом случае итерационный параметр τ играет роль шага по времени, отличие состоит лишь в том, что итерационный параметр не обязан быть малым, хорошая аппроксимация нестационарного уравнения не требуется.

Представим метод переменных направлений в следующем виде:

60. Метод верхних релаксаций.

В случае метода верхней релаксации система представляется в виде

где и — нижняя и верхняя треугольные матрицы с нулевыми диагоналями, - диагональная матрица. Вводится параметр 1 < τ < 2 и итерационные формулы записываются в виде

При τ = 1 получаем метод Зейделя.

Рассмотрим реализацию метода верхней релаксации для разностной аппроксимации уравнения Пуассона. Переписав разностную схему в виде

54. Метод случайных блужданий.

64. Метод прямых.

41. Метод релаксаций.

Предваряя решение двумерных уравнений Лапласа и Пуассона, рассмотрим методы решения одномерной краевой задачи, которая может быть описана уравнением второго порядка

(4)

с заданными значениями и , которое имеет следующую конечно-разностную аппроксимацию:

, (5)

где , .

Уравнение (5) задает систему линейных уравнений относительно неизвестных переменных _i(i=1;N-1), причем матрица системы уравнений является трех диагональной (т.е. в матрице отличными от нуля оказываются только элементы, расположенные на главной диагонали и двух диагоналях, расположенных выше и ниже главной диагонали). Для небольшого числа точек (например, N 100) данную систему уравнений можно решить прямыми методами [3] или использовать специальный прямой метод, разработанный для решения "трехдиагональных" систем [2]. Однако на практике при численном решении эллиптических уравнений приходится использовать сетки, имеющие значительно большее количество узлов, поэтому мы считаем целесообразным ограничиться рассмотрением только итерационных методов (на примере метода релаксации), применяемым в случае больших разряженных матриц.

 

Метод релаксаций

Перепишем уравнение (5) разрешив его относительно переменной :

. (6)

Несмотря на то, что значения , , входящие в правую часть (6), нам неизвестны, его можно интерпретировать как “уточнение” значений через значения в соседних точках. Метод решения уравнения (6) (метод Гаусса-Зейделя) состоит в следующем:

1) выбрать некоторое начальное приближение для решения уравнения (5);

2) продвигаясь по сетке (например, слева направо), уточнить решения уравнения в соответствии с (6). При многократном повторении описанного процесса начальное приближение может сойтись (“срелаксировать”) к точному решению.

На практике вместо уравнения (6) используют обобщенное уравнение, в котором на каждом шаге релаксации  _i заменяется линейной комбинацией из своего старого значения и “улучшенного” по формуле (6)