31) Функции двух случайных величин. Примеры.

Минутный объём вентиляции легких определяется глубиной дыхания и частотой дыхательных движений. Аналогично, концентрация газов крови характеризуется двумя величинами: - напряжением кислородаи углекислоты в плазме крови. Это двумерные случайные величины. 

Если каждой паре возможных значений случайных величин Х и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y :  Z = φ(X, Y).

Рассмотрим в качестве такой функции сумму Х + Y. В некоторых случаях можно найти ее закон распределения, зная законы распределения слагаемых.

1) Если  X и Y – дискретные независимые случайные величины, то для определения закона распределения   Z = Х + Y нужно найти все возможные значения Z и соответствующие им вероятности.

Пример.Рассмотрим дискретные случ.величины X и Y, законы распределения которых имеют вид:     

Х     -2      1      3             Y      0      1       2

р      0,3    0,4   0,3          р     0,2    0,5    0,3

Найдем возможные значения   Z:  -2 + 0 = -2 ( р = 0,3·0,2 = 0,06), -2 + 1 = -1 (р = 0,3·0,5 = 0,15),  

-2 + 2 = 0 (р = 0,3·0,3 = 0,09), 1 + 0 = 1 (р = 0,4·0,2 = 0,08), 1 + 1 = 2 (р = 0,4·0,5 = 0,2),

1 + 2 = 3  (р = 0,4·0,3 = 0,12), 3 + 0 = 3 (р = 0,3·0,2 = 0,06), 3 + 1 = 4 (р = 0,3·0,5 = 0,15),

3 + 2 = 5 (р = 0,3·0,3 = 0,09).

Сложив вероятности повторившегося дважды значения Z = 3, составим ряд распределения для Z:

Z	-2	-1	0	1	2	3	4	5
р	0,06	0,15	0,09	0,08	0,2	0,18	0,15	0,09

32) Системы случайных величин. Примеры

Пусть на одном и том же вероятностном пространстве ( , F, P) задано n сл.величин 

,  , …,  .

Совокупность сл. величин   называется многомерной (n-мерной) сл.величиной, или (n-мерным) случайным вектором.

Пример . Широта X и долгота Y падения метеорита на Землю представляют собой двумерный сл. вектор  . В эту модель можно ввести также третью координату Z – время от начала наблюдений до момента падения первого метеорита на Землю. Тогда получится трехмерный сл. вектор  .

Пример . Успеваемость студента, окончившего курс обучения в вузе, характеризуется системой n сл. величин   – оценками, проставленными в его дипломе.

Закон распределения дискретной двумерной сл.величины (Х, Y)  имеет вид таблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности p(x_i, y_j), с которыми величина принимает значение (x_i, y_j):

Y	Х
	x1	x2	…	xi	…	xn
y1	p(x1,y1)	p(x2,y1)	…	p(xi, y1)	…	p(xn, y1)
…	…	…	…	…	…	…
yj	p(x1, yj)	p(x2,yj)	…	p(xi, yj)	…	p(xn, yj)
…	…	…	…	…	…	…
ym	p(x1,ym)	p(x2,ym)	…	p(xi, ym)	…	p(xn, ym)

При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.

Зная закон распределения двумерной сл. величины, можно найти законы распределения ее составляющих. Действительно, событие Х = х₁ представляется собой сумму несовместных событий (X = x₁, Y = y₁), (X = x₁, Y = y₂),…, (X = x₁, Y = y_m), поэтому

р(Х = х₁) = p(x₁, y₁) + p(x₁, y₂) +…+ p(x₁, y_m) (в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в столбце, соответствующем Х = х₁). Так же можно найти вероятности остальных возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y = y_j.

Пример.Дан закон распределения двумерной сл.величины:

Y	X
	-2	3	6
-0,8	0,1	0,3	0,1
-0,5	0,15	0,25	0,1

Найти законы распределения составляющих.

Решение. Складывая стоящие в таблице вероятности «по столбцам», получим ряд распределения для Х:

Х	-2	3	6
р	0,25	0,55	0,2

Складывая те же вероятности «по строкам», найдем ряд распределения для Y:

Y	-0,8	-0,5
p	0,5	0,5

33).Метод наименьших квадратов — метод  теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина прямой или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятности; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

При этом, если бы число уравнений равнялось числу неизвестных, то для каждой неизвестной получилась бы одна определенная величина; если же число уравнений больше числа неизвестных, то, вследствие ошибок наблюдений, результаты решений отдельных групп этих уравнений в различных сочетаниях оказываются не совсем согласными между собой.

Решение уравнений по способу наименьших квадратов даёт возможность выводить вероятные ошибки неизвестных, т.е. даёт величины, по которым судят о степени точности выводов.

Пусть дано решить систему уравнений

ax + by + cz... + n = 0

a₁x + b₁y + c₁z... + n₁ = 0 (1)

a₂x + b₂y + c₂z... + n₂ = 0

...

число которых более числа неизвестных x, у, z... Чтобы решить их по способу н. квадратов, составляют новую систему уравнений, число которых равно числу неизвестных и которые затем решаются по обыкновенным правилам алгебры. Эти новые (нормальные) уравнения составляются так: умножают сперва все данные уравнения на коэффициенты у первой неизвестной х и, сложив почленно, получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на коэффициенты у второй неизвестной у и, сложив почленно, получают второе нормальное уравнение и т.д. [aa] = a₁a₁ + a₂a₂ +...

[ab] = a₁b₁ + a₂b₂ +...

[ac] = a₁c₁ + a₂c₂ +...

...

[bb] = b₁b₁ + b₂b₂ +...

[bc] = b₁c₁ + b₂c₂ +...

...

то нормальные уравнения представятся в следующем простом виде:

[aa]x + [ab]y + [ac]z +... [an] = 0

[ab]x + [bb]y + [bc]z +... [bn] = 0 (2)

[ac]x + [bc]y + [cc]z +... [cn] = 0

Легко заметить, что коэффициенты нормальных уравнений весьма легко составляются из коэффициентов данных, и притом коэффициент у первой неизвестной во втором уравнении равен коэффициенту у второй неизвестной в первом, коэффициент у первой неизвестной в третьем уравнении равен коэффициенту у третьей неизвестной в первом и т.д.

Для пояснения сказанного ниже приведено решение пяти урав-й с двумя неизвестными: 5x — 8y — 16 = 0

8x — y — 32 = 0

16x + 8y — 55 = 0

9x + 7y — 32 = 0

9x + 20y — 29 = 0

Составив значения [aa], [ab].., получаем следующие нормальные уравнения:

507x + 297у — 1765 = 0

297x + 358у — 1084 = 0,

откуда х = +3,545; у = —0,108. Уравнения (1) представляют систему линейных уравнений, т.е. уравнений, в которых все неизвестные входят в первой степени. В большинстве случаев уравнения, связывающие наблюдаемые и искомые величины, бывают высших степеней и даже трансцендентные, но это не изменяет сущности дела: предварительными изысканиями всегда можно найти величины искомых с таким приближением, что затем, разложив соответствующие функции в ряды и пренебрегая высшими степенями искомых поправок, можно привести любое уравнение к линейному.