Вероятность работоспособности последовательной системы из неотрицательно коррелированных элементов

Получается такой:

P = M {ф(x)}= M ( П x_i ) ≥ П M x_i = П p_i (11.4)

т.е. вероятность работоспособности последовательной системы из неотрицательно коррелированных элементов будет не меньше, чем эта же вероятность, вычисленная в предположении о независимости элементов.

Вероятность работоспособности параллельной системы из неотрицательно коррелированных элементов

Пусть x_i’ = 1 – x_i. Тогда cov(x_i’ , x_j’) = cov(x_i , x_j), поскольку x_i’- M x_i’ = 1 – П (1-p_i)

Поэтому, если ρ(x_i,y_i) ≥ 0, то и ρ(x_i’ , x_j’) ≥ 0.

Для параллельной системы получим:

P = M (1 - П x_i’) = 1 – M( П x_i’) ≤ 1 – П M x_i’ = 1 – П (1-p_i), (11.5)

Т.е. вероятность работоспособности параллельной системы из неотрицательно коррелированных элементов будет не больше, чем эта же вероятность, вычисленная и предположении о независимости элементов.

Поскольку в соответствии с формулой (2.2) средняя наработка до отказа Т выражается через интеграл от вероятности безотказной работы P(t), подобные же неравенства имеют место и для Т.

Таким образом, рассчитывая надежность системы из неотрицательно коррелированных элементов так, как если бы ее элементы были бы независимы, мы получим пессимистическую (заниженную) оценку надежности для последовательной системы и оптимистическую (завышенную) для параллельной.

В общем случае, т.е. для систем, не являющихся ни последовательными, ни параллельными, игнорирование зависимости элементов может привести к ошибке, как в ту, так и в другую сторону.

12. Резервирование: основные понятия, классификация. Сравнение общего о раздельного резервирования Основные понятия и классификация

Рассмотренные выше системы "к из n" при к < n, в частности, параллельные системы, содержат большее число элементов, чем это минимально необходимо для выполнения функций. Это делается для повышения надежности и охватывается понятием резервирования. Ниже приведены основные определения из этой области.

Резервирование - способ обеспечения надежности объекта за счет использования дополнительных средств и (или) возможностей, избыточных по отношению к минимально необходимым для выполнения требуемых функций.

Резерв - совокупность дополнительных средств и (или) возможностей, используемых для резервирования.

Основной элемент - элемент, необходимый для выполнения требуемых функций без использования резерва.

Резервируемый элемент - основной элемент, на случай отказа которого предусмотрен один или несколько резервных элементов.

Резервный элемент - элемент, предназначенный для выполнения функций основного элемента в случае его отказа.

Кратность резервирования - отношение числа резервных элементов к числу резервируемых ими элементов.

Дублирование - резервирование с кратностью 1:1.

Виды резервов

• нагруженный - резервные элементы, находящиеся в режиме основного элемента;

• облегченный - резервные элементы, находящиеся в менее нагруженном режиме, чем основной элемент;

• ненагруженный - резервные элементы, находящиеся в ненагружешюм режиме до начала выполнения функций основного элемента.