4. Восстанавливаемый элемент с конечным временем восстановления. Нестационарный коэффициент готовности (определение и расчет) Восстанавливаемый элемент с конечным временем восстановления.

На рисунке изображено поведение восстанавливаемого объекта.

Сплошная линия – периоды работоспособности, пунктирная – периоды неработоспособности; крестик – отказ, кружочек – окончание восстановления;

ξ₁ – наработка до первого отказа, ξ₂ – наработка МЕЖДУ первым и вторыми отказами;

η₁ – время восстановления после первого отказа и т.д.; η₂ – время восстановления после второго отказа и т.д.

Считаем, что все указанные величины независимы между собой; все ξ_i имеют одно и то же распределение F(t) = P{ ξ_i < t }; все η_i имеют одно и то же распределение G(t) = P{ η_i < t }.

Математическое ожидание T_o = M ξ_i – средняя наработка на отказ – показатель безотказности восстанавливаемых объектов.

Математическое ожидание T_в = M η_i – средняя время восстановления – показатель ремонтопригодности.

Статистические оценки для T_o и T_в могут быть получены аналогично формуле (2.3)

Нестационарный коэффициент готовности

Вероятность того, что объект будет работоспособен в некоторый момент времени t, называется нестационарным коэффициентом готовности и обозначается К_г (t).

Для его расчета предположим, что длительности безотказной работы и восстановления предположим, что длительности безотказной работы и восстановления имеют показательные распределения: F(t) = 1 – e^-λt, G(t) = 1 – e^-μt (λ = 1/T_о; μ = 1/T_в). При этом поведение объекта описывается марковским процессом, диаграмма состояний и переходов которого показана на следующем рисунке:

Диаграмма состояний и переходов восстанавливаемого объекта.

Если в момент времени t объект был работоспособен, и за время Δt не произошло отказа ИЛИ если в момент времени t объект был неработоспособен, но за время Δt закончилось восстановление, ТО в момент времени t+Δt объект будет работоспособен. Выражая вероятности этих событий, получим:

,откуда

Деля это уравнение на Δt и переходя к пределу при Δt→0, получаем в левой части производную, в правой части остаток o(t) исчезает, пределы от функций в правой части равны самим функциям и мы получаем:

или .

Решением этого дифференциального уравнения с учетом начального условия К_г(0)=1 (в начальный момент времени объект считается работоспособным) является:

(4.1)

5. Стационарный коэффициент готовности. Способы задания готовности. Коэффициент оперативной готовности. Стационарный коэффициент готовности

(Стационарный и нестационарный коэффициенты готовности)

При Δt→∞ К_г(t) стремится к пределу , называемому стационарным коэффициентом готовности и обозначаемому просто К_г. Выразив λ и μ через T_o и T_в (см. пред. ответ), получим:

(5.1)

На практике обычно стационарный коэффициент готовности и используется, при этом слово «стационарный» порой опускается. Он является важным комплексным показателем надежности, характеризующим безотказность и ремонтопригодность.

Формальное определение коэффициента готовности

Коэффициент готовности – вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусмотрено.

Способы задания готовности

Коэффициент простоя

Дополнение коэффициента готовности до единицы – коэффициент простоя:

К_п=1 – К_г = (5.2).

И К_г, и К_п зависят только от отношения

Получаем: .(5.3-5.4)

При γ<<1 эти выражения можно разложить в ряд Тейлора по степеням γ: 

К_г = 1– γ + γ²/2 – …, К_п = γ – γ² + … . В первом приближении:

К_г ≈ 1– γ, К_п ≈ γ. (5.5-5.6)

Коэффициент оперативной готовности

Еще один показатель, характеризующий готовность, коэффициент оперативной готовности – вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент (кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусмотрено) и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени.

В общем случае стационарный коэффициент рассчитывается по формуле:

(5.7)

(t₀ – длительность заданного интервала времени)

Если F(t) – показательное, то

К_о.г. (t₀) = К_гP(t₀) (5.8).