Оценка показателей надежности Точечная оценка

Ранее уже приводились формулы для статистической оценки основных показателей надежности. Эти формулы дают оценки, называемые точечными, поскольку результатом является одно число, т.е. точка на числовой прямой. Информация о точности такой оценки или степени доверия к ней при этом отсутствует.

Пусть, например, на испытаниях зафиксирована суммарная наработка t_∑ - 1000 ч и общее число отказов r=1. Тогда точечная оценка средней наработки на отказ = 1000 ч. Точно такое же значение получилось бы при t_∑ = 2000 ч, r = 2; t_∑ = 5000 ч, r = 5; t_∑ = 10000 ч, r = 10 и т.д. Однако интуитивно ясно, что в каждом последующем случае оценка становится точнее и внушает больше доверия, поскольку она строится на основании все большего объема наблюдений.

Кроме того, если за время испытаний не было ни одного отказа (г = 0), то точечная оценка вообще не существует.

Интервальная оценка

Поэтому помимо точечной оценки желательно получить некоторые границы для оцениваемого показателя, т.е. найти интервал, который с достаточно большой вероятностью содержит внутри себя (накрывает) неизвестный показатель. Такие оценки называются интервальными.

Доверительные границы

Пусть R – некоторый показатель надежности. Если

P {R_н < R} = γ_н,

то R_н – нижняя доверительная граница для показателя надежности R c (односторонней) доверительной вероятностью γ_н.

Если P {R < R_в} = γ_в, то R_в – верхняя доверительная граница для показателя надежности R с (односторонней) доверительной вероятностью γ_в.

Можно построить и двусторонний доверительный интервал (R_н, R­_в), для которого

P {R_н < R < R­_в} = γ^*,

где γ^* - двусторонняя доверительная вероятность.

Легко видеть, что 1 - γ^* = (1 – γ_н) + (1 – γ_в). Поэтому, если γ_н = γ_в = γ, то односторонняя и двусторонняя доверительные вероятности связаны между собой следующими соотношениями:

γ^* = 2γ – 1, γ = (1 + γ^*)/2.

Границы доверительного интервала зависят от результатов испытаний. При фиксированной точности оценки, т.е. длине доверительного интервала, доверительная вероятность будет возрастать с увеличением объема наблюдений. При фиксированном объеме наблюдений повысить точность оценки, т.е. сузить интервал, можно только за счет уменьшения доверительной вероятности, и наоборот, увеличить доверительную вероятность можно только, расширив интервал.

22. Доверительные границы для вероятности безотказной работы План испытаний

Для оценки вероятности безотказной работы р = Р(t) обычно используется следующий план испытаний. Проводятся n опытов, каждый из которых состоит в испытаниях одного образца в установленных условиях эксплуатации в течение времени t, если до этого времени образец не отказал, либо до возникновения отказа, если отказ возник до истечения времени t. Опыты могут проводиться параллельно (одновременно) или последовательно. По завершении всех n опытов фиксируется общее число отказов d.

Формула точной оценки вероятности

Точечная оценка вероятности р выражается формулой:

(обозначения в предыдущем абзаце)

Построение доверительных границ

Для построения доверительных границ используется тот факт, что d имеет биномиальное распределение, т.е.

Поэтому для нижней и верхней доверительных границ и р_н и р_в имеют место так называемые уравнения Клоппера-Пирсона:

Решения этих уравнений при различных значениях n, d и γ затабулированы, имеются также номограммы.

Пример

Например, пусть n=30, d=1 и γ=0,95. Тогда р= 29/30=0,967, из таблиц р_н = 0,828 и р_в=0,999.

Аналогично могут быть получены доверительные границы и для других показателей типа вероятности.

23. Доверительные границы для средней наработки на отказ (случай экспоненциального распределения времени безотказной работы)

План испытаний

Для оценки средней наработки на отказ может использоваться следующий план испытаний. Испытывается произвольное число n образцов. Если объект является восстанавливаемым, то отдельные образцы после отказов могут восстанавливаться и вновь включаться в испытания. В процессе испытаний разные образцы могут проработать разное время; на разных образцах могут наблюдаться разные количества отказов; некоторые образцы за время испытаний могут не иметь отказов. Испытания прерываются в произвольный момент времени. Фиксируется суммарная наработка всех испытывавшихся образцов t_∑ и общее число наблюдаемых отказов d_∑.

Если испытания прерываются не в произвольный момент времени, а в момент возникновения очередного отказа, когда общее число наблюдаемых отказов достигает некоторого заранее установленного значения d, то вместо t_∑ следует брать величину

.

Тогда все соотношения сохраняются.

Распределение времени безотказной работы предполагается показательным.