Оценки через все простые пути и сечения

Как указывалось выше, любая система может быть представлена в виде:

- параллельного соединения всех простых путей, в каждом из которых его элементы соединены последовательно - формула (15.1);

- последовательного соединения всех простых сечений, в каждом из которых его элементы соединены параллельно - формула (15.3).

Подсистемы, участвующие в подобных представлениях, т.е. простые пути и сечения, могут рассматриваться как обобщенные элементы (модули). При этом их состояния являются неотрицательно коррелированными, поскольку в их состав могут входить одни и те же элементы. Поэтому, используя формулы (11.4) и (11.5), получим следующие выражения для оценок:

(17.2)

(17.3)

Таким образом, для получения нижней оценки берется последовательное соединение всех простых сечений, в каждом из которых его элементы соединяются параллельно; для получения верхней оценки - параллельное соединение всех простых путей, в каждом из которых его элементы соединяются последовательно. Соответствующие структуры для примера мостика показаны на рис. 9.2. Эти оценки называют оценками Эзари-Прошана (ОЭП) по фамилиям американских ученых, впервые их предложивших.

Нижняя и верхняя ОЭП являются двойственными, т.е. получаются друг из друга заменой сечений на пути, последовательного соединения на параллельное и наоборот.

Рис. 9.2. Структуры для получения нижней (а) и верхней (б) оценок для мостика через все простые пути и сечения.

Основной недостаток этих оценок состоит в том, что для их построения необходимо нахождение всех простых путей и сечений. Для больших систем эта задача является весьма трудоемкой, поскольку число простых путей и сечений может быть весьма велико. Если же множества простых путей и сечений оказываются неполными, то построенные на их основе оценки могут быть неверны, т.е. «нижняя оценка» может оказаться больше «верхней».

Оценки через непересекающиеся простые пути и сечения.

Указанных выше недостатков лишены оценки, которые строятся на основе попарно непересекающихся (т.е. не имеющие общих элементов) путей и сечений. В некоторых источниках такие оценки называют упаковочными, в других - оценками Литвака-Ушакова (ОЛУ) по фамилиям советских ученых, предложивших их обобщение.

Для получения нижней оценки используется система, представляющая собой параллельное соединение непересекающихся простых путей, в каждом из которых все его элементы соединяются последовательно. Верхняя оценка дается системой, представляющей собой последовательное соединение непересекающихся простых сечений, в каждом из которых все его элементы соединяются параллельно. Эти оценки также являются двойственными, т.е. нижняя и верхняя оценки получаются друг из друга заменой сечений на пути, последовательного соединения на параллельное и наоборот.

Таким образом.

(17.4)

(17.5).

Здесь k₀ – число попарно непересекающихся путей, m₀ – число попарно непересекающихся сечений (k₀ ≤ k, m₀ ≤ m, предполагается, что непересекающиеся пути и сечения идут в начале общих списков путей и сечений).

Множества непересекающихся путей и сечений определяются, как правило, неоднозначно. Например, для мостиковой схемы (рис. 8.1) имеется по три таких множества и для путей, и для сечений: для путей это {{1, 4}, {2, 5}}, {{1, 3, 5}} и {{2, 3, 4}}; для сечений - {{1, 2}, {4, 5}}, {{1, 3, 5}} и {{2, 3, 4}}. Таким образом, множества непересекающихся путей и сечений могут различаться по числу элементов в них. В рассмотренном примере одно из множеств имеет два элемента (пути или разреза), а два множества - по одному элементу.

Если вероятности работоспособности элементов не очень сильно различаются между собой, то оценки, использующие максимальные по числу элементов множества путей и сечений, оказываются более точными. Известно, что максимальное число непересекающихся путей равно минимальному числу элементов в простом сечении, а максимальное число непересекающихся сечений равно минимальному числу элементов в пути.

Получение и обоснование этих оценок вполне понятно и наглядно. Нижняя получается при удалении из системы всех элементов, не входящих в рассматриваемое множество непересекающихся простых путей. Естественно, что надежность при этом может только уменьшиться. Оценочная система для верхней оценки получается стягиванием элементов, не входящих в рассматриваемое множество непересекающихся простых сечений. При этом стягиваемый элемент считается абсолютно надежным (работоспособным с вероятностью единица). Естественно, что надежность при этом может только увеличиться. Поскольку рассматриваются только непересекающиеся пути и сечения, получаемые системы оказываются приводимыми.

В рассмотренном примере мостика нижняя оценка получается путем удаления элемента 3, а верхняя - стягиванием этого же элемента (см. рис. ниже). Здесь напрашивается параллель с методом разложения по элементу.

Структуры для получения нижней (слева) и верхней (справа) оценок для мостика через непересекающиес простые пути и сечения.