15. Простые (минимальные) пути и сечения. Расчет надежности с их использованием по формуле «включения-исключения». Простой путь

Простым (минимальным путем) называется минимальное по включению множество элементов системы, работоспособность которых обеспечивает работоспособность системы.

И ными словами, множество элементов является простым путем, если:

1)

2) Никакое собственное подмножество множества А не удовлетворяет свойству 1).

Например, простыми путями мостика являются множества элементов A₁ = {1, 4}, A₂ = {2,5}, A₃ = {1,3,5},A₄ = {2,3,4}.

Простое сечение (разрез)

Простым сечением называется минимальное по включению множество элементов системы, отказ которых влечет отказ системы.

Иными словами, множество элементов является простым сечением, если:

1)

2)Никакое собственное подмножество множества B не удовлетворяет свойству 1).

Например, простыми сечениями мостика являются множества элементов B₁ = {1, 2}, B₂ = {4, 5}, B₃ = {1, 3, 5}, B₄ = {2, 3, 4}.

Двойственность путей и сечений

Между простыми путями и сечениями существует двойственность, смысл которой будет виден из дальнейшего изложения. Любые утверждения и формулы, касающиеся простых путей, будут верными и для простых сечений, если слово «путь» заменить словом «сечение», «работоспособность» на «неработоспособность».

Использование простых путей и сечений в формуле «включения-исключения» Перебор простых путей

Пусть А₁,…,А_k - все простые пути системы. Из определения простого пути вытекает, что

(15.1)

Иными словами, вся система может быть представлена в виде параллельного соединения всех простых путей, в каждом из которых его элементы соединены последовательно. Это нисколько не противоречит неприводимости системы, поскольку в данном представлении одни и те же элементы могут входить в состав разных путей, а приводимость означает возможность представления в виде комбинаций последовательных и параллельных соединений различных (неповторяющихся) элементов.

На следующем рисунке в качестве примера показано подробное представление для мостика, изображенного выше:

Представление мостика через простые пути.

Для упрощения записи будем обозначать через А не только сам простой путь, т.е. подмножество в {1,…,n}, но и событие, заключающееся в работоспособности всех его элементов, т.е. .

Тогда, воспользовавшись известной в теории вероятностей формулой включения-исключения, получим:

(15.2)

О бщее число слагаемых в этой формуле равно 2^k-1.

Рассмотрим опять мостик, вернее его представление через пути.

(A₁ … A₄ определены выше, вот они:

A₁ = {1, 4}, A₂ = {2,5}, A₃ = {1,3,5},A₄ = {2,3,4}. )

Используем силу формулу включения-исключения, получим ЭТО:

P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A1A4)-P(A2A3)-P(A2A4)-P(A3A4)+

+P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4)-P(A1A2A3A4)=

=p1p4+p2p5+p1p3p5+p2p3p4-p1p2p4p5-p1p4p3p5-p1p4p2p3-p2p5p1p3-p2p5p3p4-

-p1p3p5p4+p1p4p2p5p3+p1p4p2p5p3+p1p4p3p5p2+p2p5p1p3p4-p1p4p2p5p3.

Перебор простых сечений

Пусть B₁…B_m – все простые сечения системы. Из определения простого сечения вытекает, что

(15.3).

Иными словами, вся система может быть представлена в виде последовательного соединения всех простых сечений, в каждом из которых его элементы соединены параллельно. Как и в случае простых путей, подобное представление не противоречит неприводимости системы.

В качестве примера на рисунке, расположенном ниже, показано подобное представление для мостика.

Представление мостика через простые сечения.

Для упрощения записи будем обозначать через В не только само простое сечение, т.е. подмножество в {1,...,n}, но и событие, заключающееся в неработоспособности всех

его элементов, т.е. .

Тогда для вероятности неработоспособности системы Q = 1 – P получим:

. (15.4)

(здесь также используется формула включения-исключения). Общее число слагаемых в этой сумме равно 2^m-1.

Для мостика получим: