Последовательность соединения точек определяется по горизон- |
|
тальной проекции. |
|
В точках D2, E2 и E'2 происходит изменение видимости кривой. |
|
Пример 8. Построить пересечение тора с цилиндром (рис. 63). |
|
Фронтальная проекция линии пересече- |
|
ния известна. Набор опорных точек в доста- |
|
точной мере определяет форму кривой линии |
|
пересечения, которая распадается на две час- |
|
ти: переднюю и заднюю. |
|
Так же, как и в предыдущем примере, |
|
берём во внимание, что искомые точки линии |
|
пересечения принадлежат тору. |
|
Горизонтальные проекции точек C, C' и |
|
D, D' найдены без специальных построений. |
|
Проекции всех остальных точек опреде- |
|
ляются при помощи вспомогательных фрон- |
|
тальных дуг окружностей, проецирующихся |
|
на горизонтальной проекции в отрезки пря- |
|
мых линий (см. Пример 2, рис. 38). |
|
Найденные проекции точек соединяются |
|
между собой в той же последовательности, |
|
что и на фронтальной проекции. |
|
Граничными точками видимости оказы- |
Рис. 63 |
ваются точки A1, A'1 на очерковой образую- |
|
щей цилиндра и D1, D'1 на очерковой линии тора. |
|
Все рассмотренные примеры подтверждают правило: видимость |
|
любой линии может измениться только в точке, принадлежащей |
|
очерку поверхности. |
|
2. Способ вспомогательных сфер
Прежде, чем рассматривать этот способ, остановимся на одном частном случае пересечения поверхностей вращения.
Допустим, что некоторая поверхность вращения, например, конус, пересекается со сферой , причем центр сферы находится на оси этой поверхности (рис. 64, а).
49
При этом условии в пересечении получатся окружности m и n. На |
||
рис. 64, б даны ортогональные проекции этих поверхностей и их линий |
||
пересечения. |
|
|
На рис. 65 даны примеры пересекающихся соосных поверхностей: |
||
цилиндра и сферы (а), бочонка и сферы (б). |
|
|
Поскольку оси всех этих поверхностей расположены параллельно |
||
плоскости П2, то получаемые в пе- |
||
ресечении |
окружности m и n |
про- |
ецируются |
на П2 в виде прямоли- |
|
нейных отрезков. |
|
|
а) б)
Рис. 64
а) |
б) |
|
Рис. 65 |
Итак, свойство сферы, имеющей центр на оси поверхности вращения, пересекать эту поверхность по ок-
ружностям, является основой способа вспомогательных сфер.
Рассмотрим некоторые частные случаи взаимного расположения пересекающихся поверхностей вращения.
Способ концентрических сфер
Пример 1. Построить линию пересечения конуса с цилиндром
(рис. 66).
В данном случае оси поверхностей вращения пересекаются и параллельны фронтальной плоскости проекций, поэтому здесь рациональ-
но применить способ вспомогательных концентрических сфер.
Рассмотрим поэтапное решение задачи.
Определяем точки пересечения очерковых образующих без специальных построений A(A1,A2), B(B1,B2), C(C1,C2), D(D1,D2) (рис. 66, а).
Перед тем, как проводить окружности, изображающие произ-
50
вольные сферы, нужно выяснить размеры радиусов наибольшей и наименьшей сфер.
Центр всех концентрических сфер должен находиться в точке пересечения осей конуса и цилиндра.
Максимальный радиус равен расстоянию от центра до наиболее удаленной от центра точки A(A2). Сфера минимального радиуса должна быть такой, чтобы она касалась одной из поверхностей (т.е. была в нее вписана) и одновременно пересекала бы другую. Поэтому из двух малых сфер, вписываемых в каждую из поверхностей выбирается наибольшая. Такой сферой является та, которая изображена на рис. 66, б.
Эта сфера, вписанная в конус, коснулась его по окружности, а цилиндр пересекла по двум окружностям. Эти окружности изобразились отрезками прямых, перпендикулярных оси конуса и цилиндра соответственно.
В пересечении этих окружностей мы получили проекции точек E(E2), E'(E'2) и F(F2), F'(F'2). Горизонтальные проекции этих точек найдены из условия их принадлежности к окружности конуса. Эти точки относятся к опорным, как наиболее близко расположенные к оси конуса.
Чтобы уточнить вид кривой, проведем еще одну вспомогательную сферу произвольного радиуса для получения промежуточных точек
1, 1', 2, 2' (рис. 66, в).
Величина ее радиуса должна находится в пределах от Rmin до Rmax, определённых ранее.
На фронтальной проекции в пересечении этой сферы с конусом получим окружность в виде отрезка прямой, перпендикулярного к оси конуса, а в пересечении с цилиндром – две окружности в виде отрезков, перпендикулярных к оси цилиндра. На пересечении этих отрезков находятся проекции искомых точек 12, 1'2, 22, 2'2.
Горизонтальные проекции этих точек легко определить при помощи окружности конуса, которой они принадлежат.
Соединяем все точки на фронтальной проекции плавной линией
(рис. 66, г).
Прежде, чем сделать то же самое на горизонтальной проекции, следует отметить еще четыре опорные точки – точки видимости на гори-
51
зонтальной проекции L(L1), L'(L'1), M(M1), M'(M'1). Они принадлежат очерку цилиндра. Фронтальные проекции этих точек специальным образом не определяют – их берут непосредственно на уже готовой проекции линии пересечения.
а
) 
б)
в) Рис. 66 г)
52