Энергетический спектр и автокорреляционная функция

Как мы видели, спектр белого шума в пределах рассматриваемого частотного диапазона содержит одинаковое (бесконечно малое) количество энергии на каждой частоте, но фазовые углы компонентных синусоид распределяются случайно. Поэтому при рассмотрении сигналов, подобных белому шуму, мы можем изучать их в таком представлении, которое бы не несло никакой информации о фазах. Это достигается путем введения среднеквадратичной амплитуды вместо максимальной амплитуды и фазы каждого из компонентов. Поскольку в среде, оказывающей сопротивление, энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то соотнесение значения средней квадратичной амплитуды к частоте называется энергетическим спектром. Следует отметить, что вследствие однородности спектра белого шума в пределах, показанных на фиг. 2.E, замена максимальной амплитудой составляющих среднеквадратичной амплитуды меняет картину только в той степени, что масштаб по оси ординат должен быть изменен.

Другой путь выражения информации содержащейся в энергетическом спектре, заключается в определении функции автокорреляции колебания. Автокорреляционная функция находится путем двукратного изображения одного и того же колебания (причем второе изображение вычерчивается под первым) и определения корреляции между соответствующими ординатами двух кривых. Если вторая кривая расположена непосредственно под первой, то корреляция представляет собой единицу. Если же вторая кривая сдвинута во времени по отношению к первой на величину t, то корреляция в общем становится меньше единицы. Величина корреляции между исход-ной и сдвинутой волнами, соотнесенная со значением сдвига t, дает нам полезную картину сигнала. Полученное соотношение r (коэффициента корреляции) и t (сдвига) представляет собой нормализованную автокорреляционную функцию. Нормализованной она называется для того, чтобы отличить ее от другой тесно связанной с ней функцией, определяющей отношение среднеквадратичной величины произведения исходной и сдвинутой волн к величине сдвига. Последняя, называемая ненормализованной автокорреляционной функцией, равняется первой, умноженной на среднеквадратичную ординату исходной волны, и представляет собой преобразование Фурье энергетического спектра. Таким образом, она имеет такое же отношение к энергетическому спектру, какое звуковая волна имеет к спектру, определяющему максимальную амплитуду и фазу.

На фиг. 2.Е мы видим, например, что колебание изменяется вверх и вниз настолько быстро, что корреляция между волной, сдвинутой при своем продолжении даже на незначительную величину, несомненно сведется к нулю, так как между амплитудой в какой-либо определенный момент и амплитудой в точке, несколько отставленной по времени, практически нет никакого различия. Не будет никакого различия также и в случае идеально случайного шума с его однородным энергетическим спектром, однообразным до бесконечно высоких частот. Это означает, что полученное для колебания, изображенного на фиг. 2.E, значение автокорреляционной функции упадет с единицы (для нулевого сдвига) до нуля (для каждого сколько-нибудь заметного сдвига). Поэтому функция автокорреляции для белого шума будет иметь приблизительно такую же форму, какую имеет колебание, показайное на фиг. 2.D. Для проверки того правила, что энергетический спектр представляет собой преобразование Фурье функции автокорреляции, можно сравнить спектр, изображенный на фиг. 2.D (представляющий преобразование Фурье колебания), и тем самым сравнить также преобразование Фурье функции автокорреляции колебания 2.E со спектром 2.E. Находим, что оба они представляют собой горизонтальные линии. Поскольку шкалы ординат обоих графиков произвольны, то две горизонтальные линии функционально идентичны. Следовательно, правило проверено. Автокорреляционные методы находят все более широкое применение в различных областях, в частности в области связи. Всестороннее рассмотрение этих областей применения можно найти в работе Винера (1949г).