8. Силы в магнитном поле

1 . Если в опыте Эрстеда проводник с током действует на магнитную стрелку, то и наоборот магнитное поле стрелки должно действовать на проводнмик с током. Но магнитное поле могут создавать другие проводники. Значит, проводники с током должны взаимодействовать между собой. Эксперименты по взаимодействию проводников с током провел Ампер. В результате установлен закон Ампера: сила, действующая на элемент проводника с током, равна произведению силы тока на векторное произведение длины элемента на индукцию магнитного поля:

.

В скалярном виде закон Ампера имеет вид

. 8.1

Здесь α – угол между вектором элемента длины проводника, направленного по току, и силовыми линиями магнитного поля.

Направление вектора силы определяется правилом левой руки: если четыре пальца расположить вдоль проводника в направлении тока, силовые линии входили в ладонь, то отогнутый большой палец укажет направление силы Ампера (рис. 8.1).

Если поле однородное, проводник прямой, то сила Ампера равна

. 8.2

2. Определим силу взаимодействия двух параллельных проводников с токами J₁ и J₂, находящихся на расстоянии a, которое много меньше длины проводников (рис. 8.2). Пусть первый проводник является источником магнитного поля с индукцией , которая в месте расположения второго проводника направлена за чертеж (sin α=1). На отрезок второго проводника длиной l действует сила Ампера . Подставив формулу индукции, получим

. 8.3

Согласно правилу левой руки параллельные проводники с током одного направления притягиваются, противоположного направления – отталкиваются.

Формула служит для установления пятой единицы системы СИ – силы тока – ампера. Один ампер это такая сила тока, при которой два параллельных проводника на расстоянии 1 метр, взаимодействуют на один метр длины с силой 2∙10^-7 ньютона.

3. При перемещении проводника с током в магнитном поле силами Ампера совершается механическая работа.

Пусть элемент проводника длиной dl перемещается на малое расстояние dr в магнитном поле с индукцией B. Элементарная работа определяется скалярным произведением силы на перемещение , а сила векторным произведением – . Тогда работа определится смешанным произведением векторов , в котором можно циклически менять положение векторов . Векторы длины проводника и перемещения образуют параллелограмм, площадь которого равна их векторному произведению . Вектор площади перпендикулярен поверхности параллелограмма.

Cкалярное произведение вектора индукции на вектор площади это магнитный поток: , где угол α – угол между вектором индукции и вектором площади. Единица магнитного потока вебер, Вб = Тл∙м².

Полная работа равна интегралу от элементарной работы:

. 8.4

Механическая работа при движении проводника в магнитном поле равна произведению силы тока в проводнике на поток сквозь поверхность, заметенную проводником при перемещении.

Так как магнитное поле, например, постоянного магнита, неизменно, то работа совершается не за счет энергии магнитного поля, а за счет работы источника тока, который поддерживает силу тока в проводнике.

4. Рамка с током в магнитном поле. Пусть в однородном магнитном поле находится прямоугольная рамка с током силой J, как показано на рис. 8.4. На горизонтальные стороны рамки действуют силы, которые пытаются деформировать рамку в вертикальном направлении. На боковые вертикальные стороны рамки действуют силы, создающие момент сил . Подставим формулу силы Ампера . Произведение длины рамки на ширину является площадью рамки. Произведение силы тока на площадь рамки назовем магнитным моментом рамки . Направление вектора магнитного момента определяется правилом буравчика: если ручки буравчика вращать по току в рамке, то магнитный момент направлен по перемещению буравчика.

М омент сил, вращающий рамку в магнитном поле, равен произведению магнитного момента на вектор индукции поля:

или в векторном виде

8.5

Момент сил поворачивает рамку так, чтобы плоскость рамки стала перпендикулярно силовым линиям, а вектор магнитного момента повернулся к силовым линиям поля. Это положение устойчивого равновесия рамки, при котором силы Ампера растягивают рамку. Сумма сил равна нулю.

Если в магнитном поле находится плоская катушка из N витков площадью S, то её магнитный момент равен

. 8.6

Р амка в магнитном поле обладает потенциальной энергией. Её можно определить через работу момента сил Ампера по повороту рамки: . Полагая постоянную интегрирования равной нулю, получим

или . 8.7

Минимум потенциальной энергии рамки будет в положении равновесия, α=0.

Если магнитное поля является неоднородным, то силы Ампера, действующие на рамку, кроме вращающего момента создают результирующую силу. По формуле связи силы и потенциальной энергии проекция силы равна первой производной от энергии по координате с обратным знаком:

. 8.8

В положении равновесия рамки, α=0, сила направлена к области усиления поля, рамка втягивается в сильное поле.

5. Сила Лоренца. По гипотезе Лоренца сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, есть результирующая сил, действующих на электрические заряды, создающие ток. Поделим силу Ампера на число зарядов в отрезке проводнике длиной l: . Определим силу тока как отношение суммарного заряда ко времени дрейфа заряда от начала до конца проводника . Подставим силу тока и получим для силы Лоренца формулу

, или в векторном виде . 8.9

Сила Лоренца направлена всегда перпендикулярно вектору скорости частицы и силовым линиям магнитного поля. Для положительно заряженной частицы направление силы определяется правилом левой руки: силовые линии входят в ладонь, четыре пальца по скорости, отогнутый большой палец укажет направление силы. Для отрицательной частицы – наоборот. Сила Лоренца работы над частицей не совершает, кинетическую энергию и скорость не изменяет.

6. Движение частиц в однородном магнитном поле. Пусть частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям (рис. 8.8). Сила Лоренца является центростремительной силой. Частица будет двигаться по дуге окружности. Второй закон Ньютона в проекции на нормаль имеет вид . Откуда радиус кривизны траектории равен

. 8.10

Период обращения по окружности . Подставив формулу радиуса окружности, получим

. 8.11

Период обращения не зависит от скорости движения частицы.

Если частица влетает под углом α к силовым линиям однородного поля, то движение можно представить в виде двух движений: движение с перпендикулярной компонентой скорости по окружности и поступательное движение вдоль силовых линий со скоростью . Траектория будет винтовой линией (рис. 8.9) с радиусом и шагом

и . 8.12

Магнитное поле Земли отклоняет потоки заряженных космических частиц. Навиваясь на силовые линии поля, они отклоняются к полюсам, вызывая там при входе в атмосферу полярные сияния.