7. Магнитное поле

Магнитное поле это форма материи, которая проявляет себя действием на постоянные магниты, на проводники с током, на движущиеся электрические заряды.

С древности известно притяжение железных предметов к магнитным рудам, ориентация магнитной стрелки в магнитном поле Земли. Возникновение магнитного поля около проводников с электрическим током обнаружил Эрстед в 1819 г по повороту магнитной стрелки при включении тока в проводнике. Началось экспериментальное и теоретическое исследование магнитного поля.

1. По аналогии с электростатическим полем вводится силовая характеристика магнитного поля, названная индукцией . Однако, в отличие от электростатического поля, свободных магнитных зарядов в природе не обнаружено. Зато магнитное поле действует на магнитную стрелку, которую можно рассматривать как магнитный диполь, состоящий из северного и южного магнитных зарядов. Магнитный момент стрелки равен произведению магнитного заряда на расстояние между зарядами . В магнитном поле на северный заряд стрелки действует сила, направленная вдоль силовых линий, на южный заряд – наоборот. Они создают вращающий момент сил , где B – индукция магнитного поля. Отсюда индукцию магнитного поля можно определить как отношению максимального момента силы к магнитному моменту стрелки:

. 7.1

Магнитную стрелку можно заменить небольшой рамкой площадью S из N витков с током, магнитный момент которой равен .

2 . Закон Био-Савара-Лапласа. Экспериментальные исследования магнитных полей проводников с током разных по форме привели к неоднозначным результатам. Например, для прямого длинного проводника индукция убывала обратно пропорционально расстоянию от проводника. Лаплас теоретически установил закон для индукции магнитного поля, создаваемого малым элементом проводника dl с силой тока J. В скалярном виде в системе СИ он имеет вид

. 7.2

Здесь μ – относительная магнитная проницаемость, которая учитывает вклад в магнитное поле молекул среды. Для всех материалов кроме ферромагнетиков она незначительно отличается от единицы. Здесь μ₀ = 4π ∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная, которая служит для установления соотношения между электрическими и механическими единицами в формуле. Угол α между радиус-вектором r, проведенным из элемента проводника в точку наблюдения и вектором длины элемента.

Направление вектора индукции определяется правилом буравчика: если вворачивать буравчик в направлении тока, то вектор индукции направлен по вектору скорости конца ручки буравчика в точке наблюдения.

3 . Применение закона Био-Савара- Лапласа и принципа суперпозиции для расчета магнитных полей проводников подтвердило результаты экспериментов. Например, выведем формулу индукции магнитного поля отрезка прямого проводника с током в точке на расстоянии а. от проводника (рис. 7.2). Выделим элемент длиной dl на проводнике. Вектор индукции магнитного поля элемента, а также всех других элементов, согласно правилу буравчика, направлен за чертеж. По принципу суперпозиции . Подставим под знак интеграла формулу закона Био-Савара-Лапласа . Под знаком интеграла три переменных. Перейдем к одной переменной – углу α по соотношениям для сторон треугольника: , , откуда после дифференцирования . Подставим полученные соотношения между переменными и после сокращения проинтегрируем. Получим формулу индукции магнитного поля отрезка прямого проводника

7.3

Если проводник бесконечно длинный (a << l, α₁→0, α→π ), то формула для индукции принимает вид

. 7.4

Как и в опытах Био и Савара индукция магнитного поля убывает обратно пропорционально расстоянию от проводника, а силовые линии поля являются концентрическими окружностями.

4 . Силовые векторные поля характеризуют циркуляцией вектора по некоторому контуру и потоком вектора через поверхность контура. Поток по определению равен интегралу от скалярного произведения вектора индукции по площади контура: . Поток пропорционален числу силовых линий, пронизывающих контур.

Определим циркуляцию вектора индукции для уже известного магнитного поля длинного проводника с током по некоторому контуру, охватывающем проводник. (рис.7.3). Произведение – это проекция вектора элемента длины на вектор индукции, которая равна длине дуги . Подставив формулу индукции поля длинного проводника с током, получим . Циркуляция вектора индукции не зависит от формы контура интегрирования, ни от его размеров, ни от положения проводника внутри контура. Обобщим на произвольное число проводников с током:

. 7.5

Это закон полного тока: циркуляция вектора индукции магнитного поля по произвольному контуру равна произведению абсолютной магнитной проницаемости среды на алгебраическую сумму токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром интегрирования.

5. Закон полного тока позволяет в задачах с известным распределением магнитного поля сравнительно легко определить индукцию. Рассмотрим пример, поле тороида – катушки, намотанной равномерно на тор. Пусть тор имеет разрез, воздушный зазор (рис. 7.4). Силовые линии магнитного поля это окружности. Индукция магнитного поля вдоль окружности одинакова как в сердечнике, так и в воздушном зазоре. Это связано с тем, что силовые магнитного поля замкнуты, а при малой длине зазора их густота и индукция почти неизменна. Если длины сердечника и зазора равны l и l₀ , магнитные проницаемости μμ₀ и μ₀ то сумма токов, пронизывающих поверхность внутри окружности равна произведению числа витков на силу тока. Интеграл по замкнутому контуру представим суммой двух интегралов по контуру в сердечнике и зазоре. Таким образом, по закону полного тока . Индукция магнитного поля в сердечнике тороида одинакова по силовой линии и равна

. 7.6

Магнитное поле неоднородное, сильнее около внутренней поверхности сердечника тороида и ослабевает по мере удаления от оси тора.

Умножим среднее значение индукции в формуле 7.6 на площадь поперечного сечения тора. В результате получим формулу для расчета потока вектора магнитной индукции

. 7.7

Обобщим полученный результат на любую магнитную цепь. Введем обозначение , которое назовем магнитным сопротивлением участка магнитной цепи. Произведение силы тока на число витков катушки назовем магнитодвижущей силой. В результате получим уравнение, являющееся законом Ома для магнитной цепи: магнитный поток равен отношению магнитодвижущей силы к магнитному сопротивлению магнитопровода: . Для расчета разветвленных магнитных цепей справедливы законы Кирхгофа.