16. Переменный электрический ток

1. П одключение электрической цепи к генератору переменного напряжения приводит к возникновению в цепи переменного электрического тока. Это ток, который изменяется по величине и направлению. Переменный ток может рассматриваться как вынужденные колебания силы тока, заряда, напряжения в цепи под действием генератора.

Пусть электрическая цепь состоит из соединенных последовательно катушки индуктивностью L, резистора с сопротивлением R и конденсатора емкостью C, которая подключена к генератору переменного напряжения (рис. 16.1). Пусть ЭДС генератора изменяется по гармоническому закону: , где ω – циклическая частота генератора. Чтобы определить силу тока в цепи, применим второе правило Кирхгофа: сумма падений напряжения на конденсаторе , резисторе JR равна алгебраической сумме ЭДС генератора и ЭДС самоиндукции катушки . Здесь J – сила тока, q –заряд конденсатора. В итоге закон Ома примет вид

. 16.1

Из опыта известно, что при действии внешней переменной силы колебательная система совершает вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы. Собственные колебания рано или поздно затухают. Так как обычно в электрической цепи измеряют силу тока, то частное решение уравнения (16.1) будем искать в виде гармонической функции силы тока с частотой переменной ЭДС:

J =J₀ cos w t. 16.2

Подставив функции для заряда и производной по току в уравнение (16.1) по соотношениям: ; , получим

. 16.3

Сумма падений напряжений на элементах цепи в каждое мгновение равна мгновенному значению ЭДС генератора.

В уравнении (16.3) два неизвестных: амплитуда силы тока J₀ и сдвиг фаз между током и напряжением j. Для их определения воспользуемся геометрическим методом решения тригонометрических уравнений. Это метод векторных диаграмм. Проведем из полюса векторы, длины которых равны амплитудам уравнения (16.4), под углом к оси напряжений, равным начальным фазам (рис. 16.2). Если эти векторы поворачивать с угловой скоростью, равной циклической ч астоте колебаний, то проекции векторов на ось напряжений будут совпадать с членами уравнения (16.3). Запишем теорему Пифагора для заштрихованного треугольника . Откуда получим формулу для амплитуды силы тока

. 16.4

Это закон Ома для амплитуды силы тока в цепи переменного тока. Знаменатель следует трактовать как полное электрическое сопротивление цепи Z

. 16.5

Полное сопротивление имеет три составляющих. Активное сопротивление R обусловлено сопротивлением движению электронов в проводнике. Ограничение силы тока противодействием ЭДС самоиндукции эквивалентно действию некоторого индуктивного сопротивления ωL. Чем больше частота, тем больше противодействие току. Ограничение тока процессами перезарядки конденсатора эквивалентно действию емкостного сопротивления 1/(ωС).

Сдвиг фаз между током и ЭДС генератора можно определить из треугольника на векторной диаграмме

. 16.6

2. Амплитуда силы тока зависит не только от ЭДС, но и от частоты. При частоте ω = 0 (постоянное напряжение) тока в цепи нет, этому препятствует конденсатор. С увеличением частоты ток начинает возрастать по мере уменьшения емкостного сопротивления. Но растет индуктивное сопротивление. Поэтому сила тока, достигнув максимума в момент равенства индуктивного и емкостного сопротивлений , начинает спадать при высоких частотах (рис. 16.3).

Я вление сильного возрастания амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от частоты генератора называется резонансом. Частота резонанса равна . При резонансе падения напряжения на катушке индуктивности и на конденсаторе равны, а так как находятся в противофазе, то полностью компенсируются. При резонансе полное сопротивление цепи становится минимальным и равно только активному сопротивлению R. Поэтому сила тока при резонансе может достигать огромных значений J_max = E₀/R. Соответственно напряжения на конденсаторе и катушке будут велики и могут во много раз превышать ЭДС генератора. В момент резонанса сдвиг фаз между током и ЭДС генератора равен нулю.

Если по уравнению (16.5) определить два значения частот, при которых сила тока меньше максимального значения в раз, то разность частот равна удвоенному значению коэффициента затухания: .

3. Сопротивления характеризуют способность превращать работу источника тока в другие виды энергии: активное сопротивление резистора – в тепловую, индуктивное сопротивление – в энергию магнитного поля катушки, ёмкостное сопротивление – в энергию электрического поля конденсатора. При протекании переменного тока конденсатор и катушка индуктивности четверть периода запасают энергию электрического и магнитного поля, а в следующую четверть периода отдают её обратно источнику и в среднем энергии не потребляют.

На резисторе при протекании переменного тока выделяется теплота, потребляемая от источника тока. Согласно закону Джоуля–Ленца тепловая мощность равна . Среднее значение квадрата косинуса за время много больше одного периода колебаний равно 1/2. Тогда . Заменив амплитуду силы тока по закону Ома и введя косинус сдвига фаз между током и ЭДС генератора , как видно из рис. 16.2, получим для средней мощности формулу . Для удобства вводят эффективные силу тока и напряжение, которые меньше амплитудных значений в раз: и . Окончательно формула средней мощности принимает вид

. 16.8

При распределении индуктивных и емкостных нагрузок в бытовых и промышленных сетях переменного тока стремятся как можно больше повысить коэффициент мощности cos φ .