2.5.2 Представление данных в компьютере.

Как правило, в качестве элементарной единицы информации для представления данных в машине используется байт, который обычно представляет восемь двоичных бит.

Можно выделить два основных вида данных:

• символьные данные;

• числовые данные.

Элементы данных, как правило, представляются в виде последовательности байтов переменной длины, где на представление каждого символа отводится один байт (Рис. 1.5.2 .3 а)). Исключение составляют десятичные числа, для которых может использоваться упакованная форма, при которой в одном байте располагается по две цифры, т.е. одна десятичная цифра в двоично-десятичной системе занимает четыре бита, т.е. тетраду (Рис. 1.5.2 .3в)).

5	4	8	6
байт	байт	байт	байт

а

5	4	8	6
тетрада	тетрада	тетрада	тетрада
б а й т		б а й т

в

Рис. 1.5.2.3: а - посимвольная запись десятичного числа 5486;

в - упакованная запись десятичного числа 5486.

Для представления двоичного числа, обычно, используется ограниченный набор форматов, например, один, два, четыре байта.

Пример представления чисел с плавающей точкой в 2-байтном формате приведен на Рис. 1.5.2 .4.

Рис. 1.5.2.4

При использовании 4- байтового формата вводимые дополнительные два байта, как правило, используются для расширения мантиссы представляемого числа.

3.Алгебра логики

3.1Основные понятия алгебры логики

Алгебра логики находят широкое применение при синтезе и анализа схем ЭВМ. Это объясняется, с одной стороны, соответствием представления переменных и функций алгебры логики, с другой стороны, двоичным представлением информации и характером работы отдельных компонент вычислительной техники, которые могут пропускать или не пропускать ток, иметь на выходе высокий или низкий уровень сигнала (напряжения или тока).

Основные понятия алгебры логики включают:

• логическая переменная это такая переменная, которая может принимать одно из двух значений: истинно или ложно (да или нет, единица или ноль), что хорошо согласуется с двоичным представление информации в ЭВМ.

• логическая константа это такая постоянная величина, значением которой может быть: истинно или ложно (да или нет, единица или ноль).

• логическая функция это такая функция, которая может принимать одно из двух значений (истинно или ложно, да или нет, единица или ноль), в зависимости от текущего значений её аргументов, в качестве которых используются логические переменные.

Логическая функция может быть одного (n=1) или нескольких (n >1) аргументов. Значение логической функции определяется комбинацией конкретных значений переменных, от которых она зависит. Комбинация конкретных значений переменных (аргументов функции) называется набором. Проведя аналогию с двоичным кодом, легко убедится, что количество различных наборов N для «n» переменных определяется как:

N= 2ⁿ.

Зависимость логической функции от переменных может задаваться поразному. Это может быть задание функции в виде таблицы истинности, или словесное описание или её задание в виде логического выражения.

Словесное описание, как правило, может использоваться в случае сравнительно не сложной логической функции.

Таблица истинности является универсальным средством задания логической функции. Она включает все наборы для заданного количества переменных, определяющих значение логической функции, с указанием значений, которые принимает функция для каждого набора. В одной таблицы истинности может задаваться несколько логических функций, зависящих от одних и тех же переменных. Таблица истинности для нескольких функций y_i трех переменных х₁, х₂, х ₃ может быть задана, как это приведено в Error: Reference source not found

№ п.п.	х 1	х 1	х 3	y1	y2	y3	.........	yn
0	0	0	0	0	1	1		0
1	0	0	1	1	1	0		1
2	0	1	0	1	1	1		0
3	0	1	1	0	1	0		-
4	1	0	0	1	0	1		0
5	1	0	1	0	0	0		1
6	1	1	0	0	0	1		-
7	1	1	1	1	1	0		1

Таблица 2.1.1

В приведенной таблице истинности во второй, третей и четвертой колонках, помеченных, соответственно, х ₁, х₂, х ₃ , приведены все возможные наборы этих переменных. В следующих колонках приводятся значения функций y₁, y₂, y_n для каждого набора.

Логическая функция, называются «полностью определенная», если для неё заданы значения по всем возможным наборам. Функции, называются «частично определенная», если для некоторых наборов значения функции не заданы. В приведенной таблице истинности функции y₁, y₂ являются полностью определенными, а функция y_n - частично определенная (знак «-» означает неопределенность значения).

Максимальное количество полностью определенных функций от «n» переменных определяется как:

M = (2²) ⁿ .

Логическим выражением называется комбинация логических переменных и констант, связанных элементарными базовыми логическими функциями (или логическими операциями), которые могут разделяться скобками.

Например, логическую функцию у₁, определенную выше приведенной таблице истинности, можно представить в виде логического выражения:

y1 =

______________ (x1*x1+x1*x1+x1*x1)*

(x1+x1+x1) +x1*x1*x1,

_ .

, где« », «+», «*» - знаки базовых логических функций

Набор элементарных логических операций, с помощью которого можно задать любую, сколь угодно сложную логическую функцию, называется «функционально полная система логических функций». Иногда такую систему называют базисом.

В качестве элементарных логических функций функционально полных систем логических функций используются функции одного или двух логических переменных.

Все возможные функции одной переменой приведены в можно задать в тError: Reference source not found.

Таблица 2.1.2

№ п.п.	y0	y1	y2	y3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Из таблицы видно, что

y₀=0 - константа;

y₁=х - равна значению переменной;

y₂ - равна значению, обратному значению переменной «х»,

y₃=1 - константа.

С точки зрения базовых функций интерес представляет только функция y₂, она называется

функцией отрицания, читается как «не » и обозначается как

_ « »,

т.е. можно записать:

y2 =

_ х.

Все возможные функции двух переменных приведены в т Таблица 2.1.3

N стр	х1	x2	y0	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	y8	y9	y10	y11	y12	y13	y14	y15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
2	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
3	1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Информация по функциям двух переменных сведена в Error: Reference source not found

Таблица 2.1.4

yi	название функции	чтение функции	запись в виде булевого выражения	запись в виде булевого выражения
y0	const «0»		0
y1	конъюнкция	и х1, и х2 .	х1* х2 ;	х1х2; х1 х2
y2	запрет по х2	неверно, что, если х1, то х2	_ x2 х1
y3	f(х1)	функция одной переменной	х1
y4	запрет по х1	неверно, что, если x2 , то x1	_ х1 х2
y5	f(x2)	функция одной переменной	х2
y6	не равнозначности	х1 не равно х2	_ х1х2 +	_ x2 х1
y7	дизъюнкция	или х1, или х2	х1 + х2
y8	Пирса	ни х1, ни х2	_____ х1+ х2
y9	равнозначности	х1 равно х2	_ _ х1 х2 +	х1х2
y10	f(х2)	функция одной переменной	_ x2
y11	импликации	если x2 , то x1 .	_ _ x2 х1+	х1
y12	f(х2)	функция одной переменной	_ х1
y13	импликация	если x1 , то x2	_ _ х1 х2+	х2
y14	Шеффера	неверно, что и х1, и х2	___ х1х2
y15	const (=1)		1

Наиболее распространенной в алгебре логики является функционально полная система логических функций, которая в качестве базовых логических функций использует функцию одной переменной « НЕ» ( функция отрицания), и две функции двух переменных «И» (конъюнкция или логическое умножения) и «ИЛИ» (дизъюнкция или логическое сложение). Эта система получила название система Булевых функций или Булевый базис. В алгебре логики имеется целый раздел «алгебра Буля»), посвященный этому базису.

В выше приведенной таблице, описывающей функции от двух переменных, в последней колонке приведены варианты записи этих функций в Булевом базисе.