3. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического

отклонения нормального распределения. Будем искать для среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины доверительный интервал вида (s – δ, s +δ), где s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, а для δ выполняется условие: p ( |σ – s| < δ ) = γ.

Запишем это неравенство в виде: или, обозначив ,

. (4)

Рассмотрим случайную величину χ, определяемую по формуле

,

которая распределена по закону «хи-квадрат» с п-1 степенями свободы. Плотность ее распределения

не зависит от оцениваемого параметра σ, а зависит только от объема выборки п. Преобразуем неравенство (4) так, чтобы оно приняло вид χ₁ < χ < χ₂. Вероятность выполнения этого неравенства равна доверительной вероятности γ, следовательно, Предположим, что q < 1, тогда неравенство (4) можно записать так:

,

или, после умножения на , . Следовательно, . Тогда Существуют таблицы для распределения «хи-квадрат», из которых можно найти q по заданным п и γ, не решая этого уравнения. Таким образом, вычислив по выборке значение s и определив по таблице значение q, можно найти доверительный интервал (4), в который значение σ попадает с заданной вероятностью γ.

Замечание. Если q > 1, то с учетом условия σ > 0 доверительный интервал для σ будет иметь границы

. (5)

Итак, для оценки генерального среднего квадратического отклонения σ при заданной надежности γ можно построить доверительный интервал вида

где s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, а

q = q (n, γ) – значение, определяемое из таблиц.

Пример. Пусть п = 20, s = 1,3. Найдем доверительный интервал для σ при заданной надежности γ = 0,95. Из соответствующей таблицы находим q (n = 20, γ = 0,95 ) = 0,37. Следовательно, границы доверительного интервала: 1,3(1-0,37) = 0,819 и 1,3(1+0,37) = 1,781. Итак, 0,819 < σ < 1,781 с вероятностью 0,95. ◄

Пример. Дана выборка значений нормально распределенной случайной величины: 2, 3, 3, 4, 2, 5, 5, 5, 6, 3, 6, 3, 4, 4, 4, 6, 5, 7, 3, 5. Найти с доверительной вероятностью γ = 0,95 границы доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии.

Объем выборки п = 20. Найдем = 4,25, s = 1,37. По таблицам ([1], табл. 3 и 4) определим t (0,95; 20) = 2,093; q (0,95; 20) = 0,37. Тогда

доверительный интервал для математического ожидания;

доверительный интервал для дисперсии. ◄

Вопросы для самопроверки

1. В чем сущность задачи по определению параметров генеральной совокуп­ности? В чем особенности этой задачи?

2. Как вычисляется средняя арифметическая выборки при малом и боль­ших объемах ее?

3. Как вычисляется дисперсия выборки в случаях малого и большого объ­ема ее?

4. Какая величина принимается за среднюю генеральной совокупности, а какая — за дисперсию?

5 Что понимается под доверительным интервалом и доверительной вероят­ностью?

6. Как вычисляется среднее квадратическое отклонение средней выборки?

7. Назовите выборочные числовые характеристики.

8. Что такое статистики и для чего они служат?

9. Какими свойствами должны обладать оценки?

10. Какова вероятность попадания генеральной средней в интервал размером ±2(+3) средних квадратических отклонений средней выборки при нормальном распределении.

11. Что называется доверительным интервалом и доверительной вероятностью?

Дайте общую схему построения доверительного интервала.

12. Как изменяется доверительный интервал с увеличением надежности? С увеличением объема выборки?

13. Как изменяется доверительный интервал в зависимости от того, известны ли другие параметры точно или нет?

14. Если доверительная вероятность будет увеличена, то как изменится до­верительный интервал при других равных условиях.

15. Что надо сделать с объемом выборки, чтобы уменьшить доверительный интервал при том же значении доверительной вероятности?