- •1. Выборка. Основные характеристики.
- •1. 1. Способы первичной обработки выборки
- •1. 2. Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма
- •1.3. Статистические оценки параметров
- •1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания
- •2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания
- •3. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического
- •2. Элементы теории корреляции
- •2.1. Линейная корреляция
- •2.2. Определение параметров функциональной зависимости
- •3. Статистическая проверка гипотез
- •3.1. Основные понятия.
- •3.2. Критерий для проверки гипотезы
- •3.3. Сравнение двух вероятностей
- •3.4. Критерий для проверки гипотезы о математическом ожидании.
- •3.5. Сравнение двух средних генеральных совокупностей
- •3.6. Критерий для проверки гипотезы о сравнении двух дисперсий.
- •3.7. Приближенный метод проверки нормальности распределения,
- •3.8. Критерий Пирсона для проверки гипотезы о виде закона распределения
- •Критерий Пирсона.
- •3.9. Проверка гипотезы о значимости выборочного
- •3.10. Проверка гипотезы о равенстве нулю генерального
- •4. Применение в математической статистике
1. 1. Способы первичной обработки выборки
Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х1 п1 раз, х2 – п2 раз, …, хк – пк раз, причем где п – объем выборки. Тогда наблюдаемые значения случайной величины х1, х2,…, хк называют вариантами, а п1, п2,…, пк – частотами. Если разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом выборки. Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – статистическим рядом:
xi |
x1 |
x2 |
… |
xk |
ni |
n1 |
n2 |
… |
nk |
wi |
w1 |
w2 |
… |
wk |
Вариационный ряд, заданный в таком виде, называют дискретным
Пример.
При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков оказалось равным 1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2,3,4,1.Составим вариационный ряд: 0,1,2,3,4,5. Размах выборки равен 5. Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
ni |
3 |
6 |
5 |
3 |
2 |
1 |
wi |
0,15 |
0,3 |
0,25 |
0,15 |
0,1 |
0,05 |
◄
Пример. Дана выборка, состоящая из чисел: 3.2, 4.1, 8.1, 8.1, 6.7, 4.4, 4.4, 3.2, 5.0, 6.7, 6.7, 7.5, 3.2, 4.4, 6.7, 6.7, 5.0, 5.0, 4.4, 8.1. Составить статистический ряд распределения абсолютных и относительных частот.
Объем выборки п = 20. Перепишем варианты в порядке возрастания:
3.2, 3.2, 3.2, 4.4, 4.4, 4.4, 4.4, 4.4, 5.0, 5.0, 5.0, 6.7, 6.7, 6.7, 6.7, 6.7, 7.5, 8.1, 8.1, 8.1. Составлен так называемый вариационный ряд, который показывает, что выборка состоит из шести вариант (3,4,5,6,7,8). Составим статистический ряд:
xi |
3.2 |
4.4 |
5.0 |
6.7 |
7.5 |
8.1 |
ni |
3 |
5 |
3 |
5 |
1 |
3 |
wi |
0,15 |
0,25 |
0,15 |
0,25 |
0,05 |
0,15 |
(относительная частота ). ◄
Если исследуется некоторый непрерывный признак, то вариационный ряд может состоять из очень большого количества чисел. В этом случае удобнее использовать группированную выборку. Для ее получения интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько равных частичных интервалов длиной h, , ( размах выборки), а затем находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. В зависимости от объема выборки число интервалов группировки берется от 6 до 20. Составленная по этим результатам таблица называется группированным статистическим рядом:
Номера интервалов |
1 |
2 |
… |
k |
Границы интервалов |
(a, a + h) |
(a + h, a + 2h) |
… |
(b – h, b) |
Сумма частот вариант, попавших в интервал |
n1 |
n2 |
… |
nk |
От интервального ряда можно перейти к дискретному статистическому ряду, взяв на каждом интервале (хi, xi+1) за отдельное значение хi* величину
являющуюся серединой этого интервала.