3.3. Сравнение двух вероятностей

биномиальных распределений

Пусть известны результаты двух серий независимых испытаний: в первой серии проведено п₁ опытов, и событие А появилось т₁ раз; во второй серии из п₂ опытов событие А появилось т₂ раз. Обозначим неизвестную вероятность появления события А в одном опыте первой серии через р₁, а во второй серии – через р₂. Требуется проверить при уровне значимости α нулевую гипотезу о равенстве этих вероятностей: Н_о: р₁ = р₂.

В качестве критерия выбирается нормированная нормально распределенная случайная величина

.

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле:

.

Построение критической области:

а) при конкурирующей гипотезе Н₁: р₁ ≠ р₂ u_кр определяется из равенства , и двусторонняя критическая область задается неравенством |U| > u_кр.

б) при конкурирующей гипотезе Н₁: р₁ > р₂ u_кр для правосторонней критической области находится из условия , и вид критической области: U > u_кр.

в) при конкурирующей гипотезе Н_о: р₁ < р₂ левосторонняя критическая область имеет вид U < – u_кр, где u_кр находится по формуле из пункта б).

Пример. В серии из 20 независимых испытаний событие А появилось 8 раз, в серии из 15 испытаний – 7 раз. При уровне значимости α = 0,05 проверяется нулевая гипотеза Н_о: р₁ = р₂ при конкурирующей гипотезе Н_о: р₁ < р₂.

Критическая область – левосторонняя, следовательно, и_кр = 1,645, и критическая область имеет вид U < - 1,645. Вычислим и_набл = U_набл > – u_кр, следовательно, гипотеза принимается, и можно считать, что вероятность события А в обеих сериях испытаний одинакова.

◄▬▬■

3.4. Критерий для проверки гипотезы о математическом ожидании.

Пусть генеральная совокупность Х имеет нормальное распределение, и требуется проверить предположение о том, что ее математическое ожидание равно некоторому числу а₀. Рассмотрим две возможности.

1) Известна дисперсия σ² генеральной совокупности. Тогда по выборке объема п найдем выборочное среднее и проверим нулевую гипотезу Н₀: М(Х) = а₀. Учитывая, что выборочное среднее является несмещенной оценкой М(Х), то есть М( ) = М(Х), можно записать нулевую гипотезу так: М( ) = а₀. Для ее проверки выберем критерий

. (3)

Это случайная величина, имеющая нормальное распределение, причем, если нулевая гипотеза справедлива, то М(U) = 0, σ(U) = 1.

Выберем критическую область в зависимости от вида конкурирующей гипотезы:

- если Н₁: М( ) ≠ а₀, то и_кр: , критическая область двусторонняя, , и, если |U_набл| < u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если |U_набл| > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н₁: М( ) > а₀, то и_кр: , критическая область правосторонняя, и, если U_набл < u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если U_набл > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н₁: М( ) < а₀, то и_кр: , критическая область левосторонняя, и, если U_набл > - u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если U_набл < - u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

2) Дисперсия генеральной совокупности неизвестна. В этом случае выберем в качестве критерия случайную величину

, (4)

где S – исправленное среднее квадратическое отклонение. Такая случайная величина имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы. Рассмотрим те же, что и в предыдущем случае, конкурирующие гипотезы и соответствующие им критические области. Предварительно вычислим наблюдаемое значение критерия:

. (5)

- если Н₁: М( ) ≠ а₀, то критическая точка t_{двуст.кр.} находится по таблице критических точек распределения Стьюдента по известным α и k = n – 1.

Если | T_набл | < t_{двуст.кр.}, то нулевая гипотеза принимается.

Если | T_набл | > t_{двуст.кр.}, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н₁: М( ) > а₀, то по соответствующей таблице находят t_{правост.кр.}(α, k) – критичес-кую точку правосторонней критической области. Нулевая гипотеза принимается, если T_набл < t_{правост.кр.}.

- при конкурирующей гипотезе Н₁: М( ) < а₀ критическая область является левосторон-ней, и нулевая гипотеза принимается при условии T_набл > - t_{правост.кр.}. Если T_набл < - t_{правост.кр.}., нулевую гипотезу отвергают.