Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что
□
Геометрический
смысл производной. Производная
функции
в точке
– тангенс угла наклона касательной к
графику этой функции в точке
(подробнее на лекции и в учебниках
Физический
смысл производной Если функция
(
)
описывает закон изменения одной
физической величины
в зависимости от изменения другой
физической величины
,
то производная
часто называется скоростью изменения
первой из этих величин относительно
второй, причем эта скорость порой имеет
специальное название: сила тока,
плотность вещества, ускорение
33. Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала
Пусть функция определена в окрестности точки .
Определение
1.
Если существует такая линейная функция
вещественного аргумента
(
),
что приращение
функции
может быть представлено в виде
где
при
,то
функция
называется дифференцируемой в точке
,
а соответствующая линейная функция
аргумента
называется
ее дифференциалом в этой точке.и
обозначается
или
.
Теорема 1. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную .
Геометрический
смысл дифференциала.
Нетрудно убедиться, что значение
дифференциала
в точке
равно приращению ординаты касательной
к графику функции
в точке
.
Подробнее об этои см. учебники Фихтенгольца
и Кудрявцева.
Физический
смысл дифференциала.
Если
– длина пути, проходимого материальной
точкой за время
,
то дифференциал
(
– скорость в момент времени
)
– путь, который она бы прошла за
промежуток времени
при условии, что она бы двигалась на
нем с постоянной скоростью, равной
скорости
в момент времени
.
Если
– количество электричества, протекающее
через поперечное сечение проводника
в момент времени
,
то дифференциал
(
– сила тока в момент времени
)
– количество электричества, которое
протекло бы через это поперечно сечение
за время
,
точнее от момента времени
до момента времени
,
при условии, что сила тока была бы
постоянной и равнялась силе тока в
момент времени
.
34. Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
Теорема. Пусть функции и определены в окрестности точки и дифференцируемы в этой точке. Тогда в этой точке дифференцируема и каждая из функций
,
,
и
(при
),
Причем
35. Дифференцирование сложной функции
Теорема.
Пусть
функция
определена на интервале
,
а функция
определена на интервале
,
причем
.
Тогда если функция
дифференцируема в точке
,
а функция
дифференцируема в точке
,
то сложная функция
дифференцируема в точке
и
36. Дифференцирование обратной функции
Теорема
3.
Пусть
функция
строго монотонна и непрерывна в
окрестности
точки
.
Пусть,
кроме того, функция
дифференцируема в точке
и
.
Тогда обратная к ней функция
дифференцируема в точке
,
причем
|
(1) |
37. Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных
nо 1. Таблица производных
Элементарные
функции (за исключением функций
и
)
дифференцируемы в своих областях
определения, причем справедливы
следующие формулы (они обосновываются
в следующих пунктах):
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
=
=
.
38. Локальный экстремум функции. Теорема Ферма
Определение
1. Пусть
функция
определена
на множестве
и
.
Говорят, что в точке
функция
имеет локальный минимум
(локальный
максимум)
,
если существует такая окрестность
этой
точки, что
|
(1) |
( |
|
),при этом точку называют точкой локального минимума (локального максимума) функции.
локальный экстремум, при этом точку называют точкой локального экстремума.
всякая точка глобального экстремума является также и точкой локального экстремума
Теорема
1(Ферма).
Пусть
функция
определена на множестве
,
-
внутренняя точка множества
и функция
дифференцируема в этой точке .Тогда,
если
– точка локального экстремума этой
функции, то
|
(2) |
.Д
о к а з а т е л ь с т в о.
Для определенности будем считать , что
─
точка локального минимума . Тогда
такое, что
(
─
внутренняя
точка
)
и
.
Поэтому
|
(3)
|
|
(4)
|
.
Из неравенства (3) , в силу дифференцируемости функции в точке и теоремы о предельном переходе в неравенстве, очевидно следует, что
|
(5)
|
а из неравенства (4) , в силу того же, в свою очередь, следует , что
|
(6)
|
из неравенств (5) и (6) и вытекает равенство (2) □
39 Формула Тейлора для многочлена
Формулу
Тейлора для многочлена
в
точке
,
то есть формулу
называют
также формулой Маклорена.
40. Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
|
(3) |
43. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
(формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа),
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
||
(формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши)□
44. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора
.
Пусть
(
в
форме Пеано)
(
в
форме Лагранжа)
(в
форме Коши),
.
Пусть
,
.
Пусть
.
.
45. Правило Лопиталя
Теорема
1. Пусть
функции
и
дифференцируемы на конечном или
бесконечном интервале
,
на
и
|
(1) |
Тогда если существует конечный или бесконечный предел
|
(2) |
то существует и равный ему предел , т.е.
|
(3) |
Теорема 2. Пусть функции и дифференцируемы на конечном или бесконечном интервале , на и
.
Тогда если существует конечный или бесконечный предел
то
существует и равный ему предел
.