МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Часть I

1. Теория предела. Предел последовательности и предел функции. Теорема о существовании точной верхней грани.

Пусть переменная величина x_n принимает бесконечную последовательность значений

x₁ , x₂ , ..., x_n , ..., (1)

причем известен закон изменения переменной x_n , т.е. для каждого натурального числа n можно указать соответствующее значение x_n. Таким образом предполагается, что переменная x_n является функцией от n:

x_n = f(n)

Определим одно из важнейших понятий математического анализа - предел последовательности, или, что то же самое, предел переменной величины x_n , пробегающей последовательность x₁ , x₂ , ..., x_n , ... ..

Определение. Постоянное число a называется пределом последовательности x₁ , x₂ , ..., x_n , ... . или пределом переменной x_n , если для сколь угодно малого положительного числа e найдется такое натуральное число N (т.е номер N), что все значения переменной x_n, начиная с x_N, отличаются от a по абсолютной величине меньше, чем на e. Данное определение кратко записывается так:

| x_n - a |< (2)

при всех n  N, или, что то же самое,

(3)

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль: и . Так, для функции

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:

Так, функция имеет в точке x = 0 бесконечный предел Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Теорема о существовании точной верхней грани

Определение: АR mR, m - верхняя (нижняя) грань А, если аА аm (аm).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что аА, выполняется аm (аm).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) m’: m’<m => m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение: SupA=m называется число, такое что: 1)  aA am

2) >0 a_A, такое, что a_a-

InfA = nназывается число, такое что: 1) 1)  aA an

2) >0 a_A, такое, что a_Ea+

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aA} [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m₁=max[10*{a-[m]:aA}]

m₂=max[100*{a-[m],m₁:aA}]

...

m_к=max[10^K*{a-[m],m₁...m_K-1:aA}]

[[m],m₁...m_K, [m],m₁...m_{K + 1}/10^K]A=>[m],m₁...m_K + 1/10^K - верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m₁...m_K - точная верхняя грань и что она единственная:

к: [m’_K,m”_K)Aк аА: а<m”_K

Единственность(от противного):

аА, пусть а>m”_K =>  к: а’_K>m”_K => аа’_K>m”_K - это противоречит ограниченности => am

Точная верхняя грань:

Пусть l<m, тогда  к: m’_K>l”_K, но так как к [m’_K,m”_K)A =>  а[m’_K,m”_K) => а>l =>l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аА}, оно ограничено сверху и не пусто => -SupB=InfA