21. Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.

Определения. 1. Окрестностью точки в (как и ранее) называется всякое множество , которое содержит некоторую -окрестность этой точки.

2. Окрестностью точки в называется любой промежуток вида , где .

3. Окрестностью точки в называется любой промежуток вида , где .

4. Пусть и –окрестность этой точки (в ). Тогда множество называется проколотой окрестностью точки .

5. Точка называется точкой сгущения множества , если для любой окрестности этой точки Æ.

Определение 6. Пусть – конечная и ли бесконечная точка сгущения множества и функция определена на множестве . Конечное или бесконечное число (точка) называется пределом функции при (или в точке ), если для любой окрестности точки (в ) существует такая окрестность точки (в ), что .

Замечание 1. Для различных типов точек и определение 5 с учетом определения их окрестностей можно сформулировать в терминах неравенств:

А)  : .

Б) :

В) :

Г) :

Д) ( ) :

Е) ( ) :

Ж) ( )

_З) ( )

19.Теорема о пределе суперпозиции

Теорема (о пределе суперпозиции). Пусть функция определена на множестве , – точка сгущения множества и существует предел .
Пусть, кроме того, функция определена на множестве , – точка сгущения множества и существует предел .
Тогда, если ,		(3)
то на множестве имеет смысл суперпозиция и существует предел .		(4)

22. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1. Пусть функция определена на множестве и - его точка сгущения. Функция называется бесконечно малой при если .

Теорема 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых при функций есть бесконечно малая при функция.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой при функции и ограниченной в окрестности точки функции является бесконечно малой при функцией.

Определение 2. Пусть – точка сгущения множества . Функция называется бесконечно большой при , если .

Теорема 3 (о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими). Пусть - точка сгущения множества и на (или, хотя бы, в некоторой окрестности точки ). Тогда,если – бесконечно малая при функция, то – бесконечно большая при функция;если же – бесконечно большая при функция, то – бесконечно малая при функция.

23. Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.

Опр 1. Если ,то говорят, что функция есть о-малое от функции при , и пишут при .

Опр2. Если функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки , т.е. если она ограничена на множестве

, то говорят, что функция есть о-большое от функции при , и пишут при .

Опр 3. Пусть и – бесконечно малые при функции. Функция называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией , если при ,т.е. если .

Опр4. Бесконечно малые при функции и называют эквивалентными при и пишут ~ при , если

Теор2. Пусть и – бесконечно малые при функции, причем ~ , а ~ при . Тогда если

,то и .

Опр7. Пусть и – бесконечно большие при функции. Функция называется бесконечно большой высшего порядка по сравнению с функцией , если – бесконечно большая при функция, т.е. если при .

8. Если бесконечно большие при функции и асимптотически равны при , то говорят, что они эквивалентны при .