81. Обратная матрица. Теорема о сущствовании обратной матрицы.
О. Если для матрицы А сущ-ет кв.матрица В, что произведение АВ=Е, то В называется правой обратной матрицы к матрице А. Если для матрицы А сущ-ет кВ.матрица С, такая что произведение СА=Е,, то С назыв.левой обратной матрицой к матрице А.
О: А-1-обратная матрица к матрице А, если выполняется равенство: А-1А=АА-1=Е
Т: Если для матрицы А сущ-ет обр.матрица, то она единственна.
Док-во:
Допустим,что дла матрицы А сущ-ют две
обрт.матрицы. А-1
и 
;
А=А-1
=Е;
(А
А-1)=(
А)
А-1=Е
А-1=
А-1
ЧТД
Т: Если для кВ.матрицы А сущ-ет лев. и прав. обратной матрицы , то они совпадают с обратной матрицей А-1
док-во: Пусть В-правая обр.матрица, С-левая обр.матрица. Рас-м равенство С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В С=В, АВ=ВА=Е→В-обратная матрица В= А-1 ЧТД
Т: Кв.матрица А имеет обратную матрицу А-1, т.и.т. к
ее
опредилитель отличен от нуля, при этом
обр.матрица А-1
опред.выражением: А-1=
,
где Аиж (алгеброич.допол. соответст.элем
матрицы А)
Док-во:
Пусть кВ.матрица А имеет А-1
по опред.произвед А А-1=Е,
по св-ву определителя имеем 
=
=1,
т.к 
=1,
то оба множителя отличны от нуля. Поэтому
опред.матр. А≠0 ЧТД
82.Ранг матрицы
О: Рангом ненулевой матрицы называется порядок ее базисного минора, либо эквивалентное определение r-называется рангом А (RgA=r), если выполняются условия:1) В матрице А сущ-ет хотябы 1 минор порядка r отличный от нуля;2) Все миноры r+1 равны нулю
О: Базисным минором матрицы А называется такой минор порядка r удвл.условиям: 1) он отличен от нуля,2) все миноры r+1 матрицы А равны нулю, либо их не сущ-ет
О: Минором к-того порядка матрицы А называется определитель порядка к с элем.лежащими на пересечении любых Л строк и к столбцов данной матрицы. Число к должно быть больше числа строк м и столбцов н.
83. Методы нахождения ранга матрицы.
Существуют разные способы вычесления ранга матрицы, основной метод элементарных преоброзований строк и столбцов.
84. Теорема о базисном миноре. Ее следствия.
Т: Базисные строки (столбцы) матрицы являются линейно независимы. Любая строка (столбец) является лин.комбинацией базисных строк (столбцов)
85. Системы линейных уравнений. Основные понятия
В общем случае система линейных ур-ий относительно неизвестных х1,х2…хн имеет вид: (1).
Аиж(коэф-ты при неизвестных),Ви(свободные члены)- заданные элементы поля Р., Решением сис-мы называется такая упорядочная совокупность н элементов поля Р (с1,с2…сн), котороя при подстановке в сис-му (1) на место неизвестных (х1,х2…хн) обращает ур-я в тождества
Система имеющая хотябы одно решение называется совместной.Система не имеющая решения назыв. несовместной
Система имеющая ед.реш-е назыв.опред-ой. Система имеющая ∞ множ-во решений назыв. неопределенной
Элементарные преоброзования системы назыв.след.действия:а) умножение обеих частей одного из ур-ий на любой ≠0 элемент поля Р; 2) прибовление к одному уравнению системы к другому умноженного на любое число
86. Теорема Крамера
Т:
Если опред.основной матрицы кв.системы
линейных ур-ий с н-неизвестных, отличен
от нуля, то сис-ма имеет ед.решение,
которое находится по фор-ле:хи=
,
где и=1,2…н,∆-опред.основной
матрицы,∆и-определитель матрицы
получаемой из основной , заменой и-того
столбца, столбцов свободных членов.