71. Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2а, а>0, меньшая чем расстояние между фокусами.

Выберем декартову прямоуГольную систему координат ОХY

Тогда F1F2=2с, F1(—с,0), F2(c,0).

1. Как и для эллипса, легко показать, что координатные оси являются осями симметрии гиперболы. Поэтому гиперболу достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Если у = 0, то x = а. Если х = 0, то уравнение

решений не имеет. Значит, гипербола пересекает только ось ОХ в точках А1(—а,0), А2(а,0), называемых вершинами гиперболы.

3. Так как

то х2—а2 0, т.е. |х| а. Поэтому гипербола расположена вне

полосы, ограниченной прямыми x = а.

4. Если x возрастает от а до + , то из (1.12) следует, что у возрастает от 0 до + в первой координатной четверти.

5. Из курса математического анализа известно, что если функция у = f(x) имеет наклонные асимптоты вида у=kx+b, то

, . Учитывая симметричность гиперболы относительно осей координат, это означает, что

72.Парабола

Параболой называется геометрическое место

точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки,называемой фокусом параболы и некоторой прямой, называемой директрисой параболы.

Пусть в прямоугольной системе координат ОХУ задана парабола уравнением

y = ах2 + Ьх + с.

Выделяя полный квадрат при переменной х, данное уравнение можно записать в следующем виде

Осуществим параллельный перенос в новую систему координат

О'Х'Y', используя формулы

Тогда у'=а(х')2.Таким образом, можно считать,что в прямоуголь-

ной системе координат парабола задается уравнением у=ах2.

Повернем систему координат ОХУ на угол φ где φ= /2, если a>0

и φ= 3 /2, если а<0. Пусть, например, а>0. Тогда

Следовательно, в новой системе координат 0'Х'Y' уравнение пара

болы примет видх'=а(у')2, т.е.

Обозначим 1/а = 2р, тогда (y')2=2рх', где р >0. Итак, в прямо-

угольной системе координат парабола задается уравнением вида y' = 2рх, p>0 каноническое уравнение параболы.

1.Абсцисса любой точки параболы неотрицательна.

2.Парабола проходит через начало координат.

3.Парабола симметрична относительно оси абсцисс.

4.При неограниченном возрастании абсциссы x ордината у возрастает по абсолютной величине.

73. Прямые х= (а/ε), где ε — эксцентриситет эллипса (гиперболы) называются директрисами эллипса (гиперболы).

Так как для эллипса ε<1, а для гиперболы ε>1, то директрисы эллипса и гиперболы относительно этих кривых расположены соответственно следующим образом (рис.9).

75. Понятие матрицы. Виды матриц.

1)Системы лин.ур-й назыв.совокуп.ур-й вида:

Числа а11,а12….анм назыв. коэф-ми при неизв.х1,,,хн, числа в1…вм свободные члены. Число уравнений «м» может быть меньше, больше или равно числу неизвестных «м».

2)Решением лин.сис-мы назыв. упоряд.множ-во чисел (α1,α2…αн) при подстановке которых вместо соответствующих неизвестных каждое ур-е становиться тождеством

3)Система имеющая хотябы одно решение называется совместной.Система не имеющая решения назыв. несовместной.

4)Система имеющая ед.реш-е назыв.опред-ой. Система имеющая ∞ множ-во решений назыв. неопределенной.

5) Две сис-мы называются эквивалентными или равносильными если любое решение одной из них является решением другой и обратно решение 2-ой всегда явл.реш-ем 1-ой.

!Любые несовместные системы считаются эквивалентными

6)Элементарные преоброзования системы назыв.след.действия:а)перестановка местами люб.ур-ий системы;б)умножение любого ур-я системы на число не =0;в) прибовление к одному уравнению системы к другому умноженного на любое число

7) Решить систему – значит найти все решения или докозать что решений нет

8)Таблица составленная из коэф-в при неизвест.вида А= назыв.основной матрицей системы

9)Табл.состоящая изкоэф-в при неизвестных и свободных членов вида А*= назыв.расширенной матрицей системы

10) В матричном виде систему можно записать: * = А*Х=В