- •40 Взаимное расположение двух прямых(угол между ними, параллельность, перпердикулярность)
- •41 Общее ур-е прямой на плоскости.
- •42.Неполные ур-я
- •48.Отклонение точки от прямой.Вычисление расстояния от точки до прямой.
- •50. Пучок прямых
- •51.Общее ур-е плоскости
- •52.Неполные ур-я
- •53. Уравнение плоскости по 3-м ее точкам
- •55.Параметрические ур-я плоскости
- •56,Взаимное расположение плоскостей
- •60. Пучок плостей
- •61. Связка плоскостей
- •62. Общие ур-я прямой в пространстве
- •63. Канонические ур-я прямой в пространстве
- •64. Параметрические ур-я прямой в пространстве
- •65. Приведение общих уравнений к каноническому виду
- •66.Уравнение прямой по 2-м ее (.)
- •67. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •68.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •69. Вычесления расстояния от (.) до прямой в пространстве. Рис.
- •70.Элипс,его канонич. Ур-ние и св-ва.
- •71. Гипербола
- •72.Парабола
- •75. Понятие матрицы. Виды матриц.
- •76.Сложение матриц и умножение на число
- •78. Произведение матриц. Свойства произведения матриц.
- •79. Понятие опредилителя квадратной матрицы.
- •80. Свойства определителей
- •81. Обратная матрица. Теорема о сущствовании обратной матрицы.
- •82.Ранг матрицы
- •83. Методы нахождения ранга матрицы.
- •84. Теорема о базисном миноре. Ее следствия.
- •85. Системы линейных уравнений. Основные понятия
- •86. Теорема Крамера
- •87. Метод Гаусса
- •88) Теорема Кронекера –Капелли.Следствия.
- •92.Понятие лин.Простр.
- •120. Норма вектора
67. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
1) угол между прямыми в пространстве
Пусть две прямые заданы своими каноническими ур-ми: (1) (2) . Угол между 2-мя прямыми равен углу между их направляющим век-ми, коор-т напр.век-в. =(л1,м1,п1) =(л2,м1,п2), тогда косинус= )/
2) условие параллельности прямых в пространстве
Две прямые парал-ны т.и.т.т.к их направл.век-ры коллинеарны, тогда соответствующие корд-ты направ.век-в пропорциональны
3) условие перпендикулярности прямых в пространстве
Две прямые перпендикулярны т.и т.т.к их направляющие векторы являются ортогональными→их скалярное произведение =0, т,е л1*л2+м1*м2+п1*п2=0
4) Условие совпадения двух прямых.
Совпадающие прямые ІІ, т.е ІІ , с др.стороны рас рас-м век-р М1М2=(х2-х1;у2-у1;з2-з1), очевидно, сто век-р М1М2 принадлежит обеим прямым и является их направляющим в-м,т.е 3 век-ра кол-рны , и век-р М1М2. поэтому их соответствующие коордионатя пропорциональны:
5) Условия скрещивания двух прямых
две прямые явл. скрещивающиемся, если они не пересекаются и не являются парал-ми
68.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
1) угол между прямыми в пространстве. Пусть две прямые заданы своими каноническими ур-ями: (х-х1)/л1=(у-у-1)/м1=(з-з1)п1 (1) и (х-х2)/л2=(у-у2)/м2=(з-з2)п2 (2). Угол между ними= углу между их направыляющими векторами. .
2) условие парал-ти. Они параллельны т и т т к их направляющие векторы коллинеарны. Тогда соответствующие коордионаты направл.векторов пропорциональны: л1/л2=м1/м2=п1/п2
3) Условие _!_ прямых в пространстве
Когда скалярное произведение направляющих векторов =0
4) Условие сопадения 2-ух прямых: (х2-х1)/л1=(у2-у1)/м1=(з2-з1)/п1
5) Условие принадлежности двух прямых одной плоскости =0
6)Условие скрещивания двух прямых
69. Вычесления расстояния от (.) до прямой в пространстве. Рис.
Пусть прямая задана каноническим ур-ем вида: и (.) М0(х0,у0,з0), М1(х1,у1,з1), М2(х2,у2,з2) . МН явл. высотой ∆М1М0М2, изв.что S∆=1/2*Д =1/2* → что расстояние Д= по этой фор-ле выч-ся раст-е от (.)М0 до данной прямой
70.Элипс,его канонич. Ур-ние и св-ва.
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой ю которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а(а>0), большая, чем расстояние между фокусами.
Для составления уравнения эллипса выберем прямоугольную дкартову систему координат так чтобы ось ОХ проходила через фкусы F1 и F2, а начало координат точка О находилась в середине
отрезка F1F2
Обозначим F1F2 = 2с. Тогда
F1(—с,0), F2(c,0). Пусть М(х,у)—
произвольная точка эллипса. То-
гда MF1+ MF2= 2а, а>с. Следо-
вательно, .
. (*)
Возведем обе части уравнения (*) в квадрат. Получим
.Тосле приведения подобных получаем
Тогда
значит, Так как а>с, то >0. Поэтому уравнение (**) примет вид ,т.е
1. Пусть точка M1(х1,y1) принадлежит эллипсу, т.е.
,
тогда точки М2(—х1,у1), М3(х1,—у1), М4(—х1,—y1) также принадлежат эллипсу. Поэтому оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти.
2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А1(-а,О), А2(а,0), В1(О,b), В2(О,—b), называемых вершинами эллипса.
3. Так как
,
то , . Следовательно, |у| b, |х| а и эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х= а, у = b.
4.Из уравнений , ,следует, что при возрастании х от 0 до а в первой координатной четверти, у убывает от b до 0.