- •40 Взаимное расположение двух прямых(угол между ними, параллельность, перпердикулярность)
- •41 Общее ур-е прямой на плоскости.
- •42.Неполные ур-я
- •48.Отклонение точки от прямой.Вычисление расстояния от точки до прямой.
- •50. Пучок прямых
- •51.Общее ур-е плоскости
- •52.Неполные ур-я
- •53. Уравнение плоскости по 3-м ее точкам
- •55.Параметрические ур-я плоскости
- •56,Взаимное расположение плоскостей
- •60. Пучок плостей
- •61. Связка плоскостей
- •62. Общие ур-я прямой в пространстве
- •63. Канонические ур-я прямой в пространстве
- •64. Параметрические ур-я прямой в пространстве
- •65. Приведение общих уравнений к каноническому виду
- •66.Уравнение прямой по 2-м ее (.)
- •67. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •68.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •69. Вычесления расстояния от (.) до прямой в пространстве. Рис.
- •70.Элипс,его канонич. Ур-ние и св-ва.
- •71. Гипербола
- •72.Парабола
- •75. Понятие матрицы. Виды матриц.
- •76.Сложение матриц и умножение на число
- •78. Произведение матриц. Свойства произведения матриц.
- •79. Понятие опредилителя квадратной матрицы.
- •80. Свойства определителей
- •81. Обратная матрица. Теорема о сущствовании обратной матрицы.
- •82.Ранг матрицы
- •83. Методы нахождения ранга матрицы.
- •84. Теорема о базисном миноре. Ее следствия.
- •85. Системы линейных уравнений. Основные понятия
- •86. Теорема Крамера
- •87. Метод Гаусса
- •88) Теорема Кронекера –Капелли.Следствия.
- •92.Понятие лин.Простр.
- •120. Норма вектора
48.Отклонение точки от прямой.Вычисление расстояния от точки до прямой.
Пусть ах+ву+с=0.Вычисл.расстоян.от (.)М0(х0,у0)до данной пр-ой:
Пусть т-ка М1(х1,у1),тогда в-рМ0М= (х1-х0,у1-у0),n=(а,в), в-рМ0М ll n по признаку коллениарн. в-рМ0М=ланда*n,т.е. (х1-х0,у1-у0)=(ла,лв),тогда
lв-рМ0Мl= 2+(у1-у0)2,т.к.равные в-ры имеют равные координ.,то х1-х0=ла,а
у1-у0=лв,=> lв-рМ0Мl= 2+л2 в2=lлl 2+в2 из предыдущей следует,что х1=х0+ла,у1=у0+лв,т.к.х1,у1-коорд.(.)М1,лежащей на данной пр-ой ,то они удвлетв.ур-нию этой пр-ой.Подставим корд.в ур-ние этой пр-ой
а(х0+ла)+в(у0+лв)+с=0,л= -ах0-ву0-с/ 2+в2, lлl= lах0+ву0+с/ 2+в2l.Рассм.расстоян.от М0до пр-ой d=lв-рМ0Мl= lах0+ву0+с l/ 2+в2l;d= lах0+ву0+с l/ 2+в2.
50. Пучок прямых
множество всех прямых к плоскости назыв. пучком прямых. т.S-центр пучка.
51.Общее ур-е плоскости
Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плос
кость α, проходящая через точку М0(х0,
у0,z0). Возьмем произвольную точку М(х,у,z) α и обозначим (А,В,C) -нормальный вектор плоскости α(Рис.50)
Очевидно, что , т.еА(х-х0)+В(у-у0)+C(z-z0)=0
Так как точка М взята произвольно, то уравнению (ЗЛ) удовлетворяет любая точка плоскости α. Пусть теперь точка M1(х1,у1,z1) удовлетворяет уравнению (3.1). Тогда
А(х1-x0)+B(y1-y0)+C(z1-z0)=0
и, значит, точка М1 принадлежит плоскости α. Уравнение (3.1) называется уравнением плоскости, проходящей через заданною точку.
Раскроем скобки в (3.1) и обозначим D=-Аx0-Ву0-Cz0. Получим Ax+By+Сz+D=0 -уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости.
52.Неполные ур-я
ах+ву+сз+д=0 –общ.ур-е пр-ой.При этом она имеет норм. в-р n=(а,в,с),этот в-р явл. перпендик.
к этой пл-ой ,если все коэф. общ. ур-ния не=0,то ур-ние наз. полным.Если хотя бы 1 из них не=0,то ур-е наз. неполным . Виды неполных ур-ий: ах+с=0; ву+с=0;ах=0;ву=0
53. Уравнение плоскости по 3-м ее точкам
Очевидно, что плоскость единственным образом определяется
тремя точками, не лежащими на одной прямой. Пусть это будут точки: А(х1, у1,z1), В(x2,у2,z2), C(x3,у3,z3). Возьмем произвольную точку М(х,у,z) на плоскости α и обозначим вектора
=(x-x1,y-y1,z-z1),
=(х2-х1,у2-у1,z2-z1),
=(x3-x1,у3-y1,z3-z1)
В силу необходимого и достаточного условия компланарности трех векторов, получаем
- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. В частности, если А(а,0,0), В(0,b,0), C(0,0,с), то уравнение (3.6) примет вид
, т.е.
54.Ур-е плоскоти в отрезках
Пусть в уравнении Ax+By+Сz+D=0 все коэффициенты отличны от нуля. Тогда Ах+By+Сz=-D, т.е.
Обозначим -D/A=a, -D/B=b, -D/C=c.Тогда уравнение плоскости в отрезках.
55.Параметрические ур-я плоскости
56,Взаимное расположение плоскостей
Пусть плоскости α1 и α2 заданы уравнениями вида
α1: А1х+B1y+C1z+D1=0,
α2: А2х+В2y+С2z+D2=0.
ТEOPEMA Тогда и только тогда плоскости α1 и α2:
1) совпадают, когда А1=λA2, B1=λB2, C1=λC2, D1=λD2;
2) параллельны и различны, когда A1=λA2, В1=λВ2, С1=λС2, D1 λD2;
3)пересекаются, когда коэффициенты А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2
Доказательство. 1) очевидно, что α1 || α2 тогда и только тогда, когда , т.е. A1=λA2, В1=λВ2, С1=λС2 для некоторого λ€R. Если D1=λD2, то уравнение (3.9) можно записать в следующем виде;
а1 : λA2x+λВ2y+λС2z+λD2=0, т.е.
A2x+В2y+С2z+D2=0
Итак, плоскость α задается точно таким же уравнением, что и плоскость α, значит, эти плоскости совпадают. Обратно, если плоскости α1 и α2 совпадают, то для любой точки М0(x0,y0,z0) α следует, что М0 € α. Запишем уравнения плоскостей α1 и α2 в следующем виде;
а1: λA1x0+λВ1y0+λС1z0+D1=0
а2: λA2x0+λВ2y0+λС2z0+D2=0
Тогда
D1=-λA2x0-λВ2y0-λС2z0=λD2
Тем самым случай 1) доказан. Теперь 2) следует из 1). а 3) следует из 1) и 2). Теорема доказана.
58.