5. Используя свойства логарифма можно показать, что

37. Производные высших порядков. Правила вычисления, правило Лейбница.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a; b]. Значение производной f'(x), вообще говоря, зависит от x, т.е. производная f'(x) представляет собой тоже функцию переменной x. Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x).

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y''или f''(x). Итак, y'' = (y')'.

Например, если у = х⁵, то y'= 5x⁴, а y''= 20x⁴.

Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно дифференцировать. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y'''или f'''(x).

Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая) от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y⁽ⁿ⁾ или f⁽ⁿ⁾(x): y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1))'.

Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции последовательно находят все ее производные низших порядков.

38. Дифференцирование параметрически заданных функций.

39. Дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы.

Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f'(x) , а dx = Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d²y: d(dy)=d²y.

Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому

d²y = d(dy) = d[f '(x)dx)] = [f '(x)dx]'dx = f ''(x)dx·dx = f ''(x)(dx)².

Принято записывать (dx)² = dx². Итак, d²у= f''(x)dx².

Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:

d³y=d(d²y)=[f ''(x)dx²]'dx=f '''(x)dx³.

dny = f (n)(x)dxn

Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: dⁿ(y)=d(d^n-1y)

Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При    , -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, x = φ(t).

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример. При n = 2 и    :

• если    — независимая переменная, то  

• если     и  

  1. 

  2. при этом,     и  

С учётом зависимости , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

40. Теорема Ферма

41. Теорема Ролля

42. Формула конечных приращений Лагранжа.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка , что

.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [a;b] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование: Пусть f(t) — расстояние точки в момент t от начального положения. Тогда f(b) − f(a) есть путь, пройденный с момента t = a до момента t = b, отношение  — средняя скорость за этот промежуток.