Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x№ 0, причем x+D x О (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+D x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+D x,f(x+D x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через f (D x).
Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.
Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел limD x® 0f (D x) = f 0, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX.
Справедливо утверждение:
Предложение 1. Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке M( x,f(x)) , причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x).
Из этого утверждения вытекает геометрический смысл производной: производная f'(x0) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x0, который в свою очередь равен tg угла наклона касательной к графику функции.
Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x0 имеет вид
y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)
Геометрический смысл дифференциала
Р
ассмотрим
функцию y=f(x)
и соответствующую ей кривую. Возьмем
на кривой произвольную точку M(x;
y),
проведем касательную к кривой в этой
точке и обозначим через α угол, который
касательная образует с положительным
направлением оси Ox.
Дадим независимой переменной x
приращение Δx,
тогда функция получит приращение Δy
= NM1.
Значениям x+Δx
и y+Δy
на кривой y
= f(x)
будет соответствовать точка
M1(x+Δx; y+Δy).
Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT.
Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.
36. Производные основных элементарных функций.
y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:
(a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2∙n(n – 1)an-2∙b2+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn,
можно
доказать, что
Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)n, и, следовательно,
Δy=(x+Δx)n – xn =n·xn-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn.
Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.
Найдем
предел
Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.
y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.
Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то
Таким
образом,
Аналогично можно показать, что
Рассмотрим функцию y= ln x.
Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому
Итак,
