- •Определение производной функции через предел
- •Для функций
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Геометрический смысл производной
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Используя свойства логарифма можно показать, что
- •Неинвариантность дифференциалов высшего порядка
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Точная формулировка
- •Отношение бесконечно малых
- •Точная формулировка
- •Отношение бесконечно больших
16. Односторонние пределы. Пределы на бесконечности.
(Гейне): Функция f имеет в точке x0 предел слева (справа), если существует такое число , что для произвольной последовательности (xn) значений x, a < xn < x0 (x0 < xn < b), сходящейся к точке x0 при n → ∞, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции f сходится к точке A.
(Коши): Функция f имеет в точке x0 предел слева (справа), если
Число A называем пределом слева (справа) функции f в точке x0 и обозначаем
f(x0 - 0) (f(x0 + 0)) или .
Функция f имеет предел в точке x0 тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равные между собой пределы слева и справа.
Предел функции на бесконечности в математическом анализе описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим по модулю.
Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Запись этого факта:
Если область определения данной функции неограниченна снизу, то число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к минус бесконечности, если для любого числа e < 0 существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x < –M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Записывается это так:
17. Критерий Коши существования предела функции.
Условие Коши. Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x1,x2, удовлетворяющих условию
0<|x1-a|<d, 0<|x2-a|<d,
справедливо неравенство
|f(x1-f(x2)|<e.
Критерий Коши. Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a
(limx ->af(x) = A ) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши.
Доказательство
Необходимость . Пусть и . Это означает, что для любого > 0 существует такое > 0, что для всех точек справедливо неравенство
.
Достаточность .
Теорема об эквивалентности двух определений предела: (Определение предела по Гейне-Борелю).
Применяем критерий Коши для последовательности.
Докажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности . Для этого рассмотрим другую извлеченную последовательность , тоже сходящуюся к a. Соответствующая ей последовательность сходится к пределу B. Для доказательства, что A=B, допустим противное. Рассмотрим последовательность: , сходящуюся к a. Последовательность значений функции
не имеет предела, т.к. ее четные и нечетные члены сходятся к разным пределам A и B соответственно. Таким образом, получилось противоречие.
18. Замечательные пределы.
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из : | LA | = tgx)
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на sinx:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1
Второй замечательный предел
.
Доказательство
Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒ x → ∞. По свойству для неравенств имеем
.
Прибавим ко всем частям неравенств единицу
.
По свойству степеней имеем
Так как
и
,
то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и
,
что и требовалось доказать. Для отрицательного х доказательство аналогично.
19. Существование предела монотонной функции.
Функция называется
- монотонно возрастающей, если из
-строго монотонно возрастающей, если из
- монотонно убывающей, если из
-строго монотонно убывающей, если из .
Если же для любых точек x1ÎX и x2ÎX, x1 < x2, выполняется неравенство f(x1)£f(x2) (соответственно неравенство f(x1) ³ f(x2)), то функцию называют неубывающей (невозрастающей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) – но в широком смысле.
Возрастающие и убывающие на множестве X функции называются монотонными на этом множестве.
Теорема. Пусть функция – неубывающая на (a, b), где, в частности, может быть . Если она ограничена сверху числом M, то существует конечный предел . Если же она не ограничена сверху, то .
Аналогично, если функция f ограничена снизу, то в точке a у неё существует конечный предел справа, а если f не ограничена снизу, то .
Подобные утверждения справедливы и для убывающих функций; их можно получить, перейдя от функции f к функции –f.
Доказательство. Из ограниченности f следует существование конечной точной верхней грани . Таким образом, , и для всякого e > 0 существует такое, что . Но в силу того, что f не убывает, . Таким образом, для любого e>0 можно указать такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам . Это и значит, что .
Пусть теперь неубывающая функция f не ограничена сверху. Тогда для любого M существует такое, что M < f(x1), и вследствие того, что f не убывает на X,
,
а это и говорит о том, что .
20. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение асимптотического поведения функций. «О-о» символика.
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
П римеры.
Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).
Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.
Если для любой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции бесконечно большая, то функция называется бесконечно большой в точке .
«O» большое и «o» малое (O и o) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций.
Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x0, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:
f является «O» большим от g при , если существует такая константа C > 0, что для всех x из некоторой окрестности точки x0 имеет место неравенство
;
f является «о» малым от g при , если для любого ε > 0 найдется такая проколотая окрестность точки x0, что для всех имеет место неравенство
Иначе говоря, в первом случае отношение | f | / | g | в окрестности точки x0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при .
21. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация.
Определение 1:
Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если .
Определение 2:
f(x) называется непрерывной в точке а, если > 0 > 0: | f(x) - f(а) | < при | х - а | < .
f(x) = f(а)
Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx0, если выполнены 3 условия:
она определена в точке x0 и в некоторой её окрестности;
имеет предел при x → x0;
этот предел равен значению функции в точке x0.
Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва.
Классификация точек разрыва:
1) - устранимая т.р. и они конечны, но .
Например (рис. 8.2); другая функция непрерывна в т. .
Рис. 8.2
2) - т.р. 1-го рода: - конечны, но .
К примеру, (рис. 8.3).
3) - т.р. 2-го рода: все остальные т.р., например, точки бесконечного разрыва. В частности, (рис. 8.4).
22. Непрерывность сложной функции. Арифметические свойства непрерывных функций.
Пусть аргумент t функции y = f(t) является функцией аргумента x: t = (x). В этом случае говорят, что переменная у является сложной функцией от аргумента х или у является суперпозицией функций f и .
y = f( (x)).
Пример:
y = sin( ) - сложная функция.
y = sin t, где t = .
Если f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то f(x) g(x), f(x)g(x) и (при условии g(а) 0) непрерывны в точке а.
Доказательство:
По условию f(x) = f(а), g(x) = g(а) [ f(x) + g(x)] = f(a) + g(а). а это и означает непрерывность суммы функций в точке а. Точно также доказывается непрерывность разности, произведения, частного.
Теорема доказана.
23. Теорема Вейерштрасса.
Первая теорема Вейерштрасса.
Пусть . Тогда ограничена на .
Доказательство:
Докажем, что .
Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3…
Получим :
1)
2)
Из этих определений получаем .
=> -подпоследовательность последовательности :
.
-непрерывна в точке => .
-подпоследовательность последовательности : => . Противоречие.
Вторая теорема Вейерштрасса.
Пусть . Тогда
Замечание: Непрерывная на отрезке функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу.
Доказательство:
По условию теоремы => ограничена на => Докажем, что . Предположим противное, то есть . Рассмотрим вспомогательную функцию на . По 1 теореме Вейерштрасса ограничена на , то есть (< )- верхняя граница. , то есть . Противоречие.
24. Теорема Больцано-Коши.
Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что f(a) = A < B = f(b). Тогда для любого существует такое, что f(c) = C.
Доказательство
Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных промежутков функция принимает значения разных знаков(на левом конце меньше нуля, на правом больше).
Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что
Пусть - общая точка всех отрезков , Тогда c = lim an = lim bn, и в силу непрерывности функции
g(c) = lim g(an) = lim g(bn).
Поскольку
получим, что
25. Критерий непрерывности монотонной функции.
Для того, чтобы монотонная функция f(x) определенная на [a,b] была непрерывна на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)] либо [f(b), f(a)]).
Доказательство.
Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют: для x0(a,b], и для x0[a,b).
Доказательство леммы. Положим для некоторого x0(a,b], A= , тогда для x[a,x0) :f(x)A и для >0 x[a,x0):A- <f(x).
Рис. 3.11
Так как функция монотонно возрастает, то x(x,x0):A- < f(x) f(x)A. Таким образом, равенство доказано.
Аналогично для предела справа . Для монотонно убывающей функции справедливо аналогичное утверждение.
Следствие 1. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы.
Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода.
Доказательство критерия. Функцию будем предполагать монотонно возрастающей. Необходимость уже была доказана ранее (пункт 4, следствие 2).
Достаточность. Предположим противное. В точке x0 имеется разрыв. Этот разрыв обязан быть разрывом первого рода и, следовательно, должно нарушаться одно из двух соотношений:
, .
Пусть, например, . Так как функция возрастает, то это означает, что .По лемме .
Имеем при x x0, f(x0) < f(x0+0) f(x) при . Таким образом, значения между f(x0), f(x0+0) не достигаются, что противоречит условию теоремы.
Рис. 3.12
Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева.
Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.
26. Теорема об обратной функции.
Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (соответственно убывающей). Доказательство. Положим для определенности, что функция f возрастающая. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне . Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f). Пусть x1 и x2 — произвольные значения из Е (f), такие, что x2> x1. и пусть y1=g(x1), y2=g(x2). По определению обратной функции x1=f(y1) и x2=f(y2). Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функция, находим, что допущение y1 ≥ y2 приводит к выводу f (y1)≥f(y2), т. е. x1≥ x2. Это противоречит предположению x2> x1. Поэтому y2> y1 , т. е. из условия x2> x1 следует, что g (x2)>g (x1). Именно это и требовалось доказать.
27. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
28. Непрерывность основных элементарных функций.
Непрерывность элементарных функций
Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке своей области определения. Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций (с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя:
Алгебраические многочлены
;
Рациональные дроби
;
Степенные функции ;
Показательные функции ;
Логарифмические функции
;
Тригонометрические функции
;
Обратные тригонометрические функции ;
Гиперболические функции
;
Обратные гиперболические функции
29. Производная функции. Связь между производной и непрерывностью.
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде
f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h)
если существует.
Определение производной функции через предел
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,
Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0
30. Дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости.
Дифференциа́л — линейная часть приращения функции.
Для функций
Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция
где f'(x0) обозначает производную f в точке x0.
Таким образом df есть функция двух аргументов .
Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение
Теорема: Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.
При этом
|
Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = f '(x0)Δx+α(Δx)Δx, |
|
где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.
Доказательство Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx). Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.
Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A. Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.
Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.
31. Инвариантность формы первого дифференциала.
Инвариантность формы первого дифференциала
Пусть y = f ( u ( x )) является сложной функцией аргумента x. По определению дифференциала функции имеем
df = f '(x)·u '(x)·dx.
Так как, в свою очередь, du = u '(x)· dx, то из последнего соотношения получим
df = f '(u)·du.
Что совпадает с соотношением dy = f '(x)·dx. Форма дифференциала первого порядка сохраняется вне зависимости от того, является ли аргумент независимым или является в свою очередь функцией другого аргумента.
32. Правила дифференцирования.
При дифференцировании константу можно выносить за производную: Правило дифференцирования суммы функций: Правило дифференцирования разности функций: Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница): Правило дифференцирования частного функций: Правило дифференцирования функции в степени другой функции: Правило дифференцирования сложной функции: Правило логарифма при дифференцировании функции:
33. Производная сложной функции.
Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную и принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0)·u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).
Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.
Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0+Δx:
Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0+Δu) – f(u0).
Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.
По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)
,
где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.
Перепишем это равенство в виде:
Δy= y 'uΔu+α·Δu.
Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx
.
По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y 'x= y 'u·u 'x . Теорема доказана.
Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.
Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.
По доказанному правилу имеем y 'x= y 'u·u 'x . Применяя эту же теорему для u 'x получаем , т.е.
y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (u)·u 'v (v)·v 'x (x).
34. Производная обратной функции.
Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную , т.е. справедлива формула .
Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.
Покажем, что .
Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. .
Следовательно,
,
что и требовалось доказать.
Эту формулу можно записать в виде .
35. Геометрический смысл производной и дифференциала.