7. Уравнение движения тела переменной массы ( уравнение Мещерского).

Уравнения движения тел с переменной массой являются следствиями законов Ньютона. Тем не менее, они представляют большой интерес, главным образом, в связи с ракетной техникой.

Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет.

Основное уравнение движения тела переменной массы при любом законе изменения массы и при любой относительной скорости выбрасываемых частиц было получено В. И. Мещерским в его диссертации 1897 г. Это уравнение имеет следующий вид:

где – вектор ускорения ракеты, –– вектор скорости истечения газов относительно ракеты, M- масса ракеты в данный момент времени, –– ежесекундный расход массы, - внешняя сила.

По форме это уравнение напоминает второй закон Ньютона, однако, масса тела m здесь меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе F добавляется дополнительный член, который называется реактивной силой.

8. Момент импульса и момент силы. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса. Гироскопические явления.

Моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки относительно неподвижной точки О называется вектор L, равный векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из точки О в место нахождения материальной точки, на вектор p ее импульса

Момент импульса системы относительно неподвижной точки

Если тело вращается вокруг одной из главных осей инерции, то направление вектора момента импульса тела совпадает с направлением вектора его угловой скорости, а значение момента импульса может быть выражено через момент инерции

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется векторная величина М, равная векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на вектор силы F (правило рычага)

Модуль момента силы

где l – длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.

Главным моментом силы (результирующим моментом) нескольких сил относительно неподвижной точки О (полюса) называется вектор М, равный геометрической сумме моментов относительно точки О всех действующих сил

Моментом силы F относительно неподвижной а называется величина М_а, равная проекции на эту ось вектора М момента силы F относительно произвольной точки О на оси а

Если линия действия силы пересекает ось или параллельна ей, то момент силы относительно этой оси равен нулю.

Уравнение моментов:

Первая производная по времени t от момента импульса L механической системы относительно любой неподвижной точки О равна главному моменту М^внешн относительно той же точки О всех внешних сил, приложенных к системе (основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки)

Момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени (закон сохранения момента импульса)

и

гироскопы — массивные од нородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси сим метрии, являющейся свободной осью.

Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу относительно его центра масс, отличен от нуля, то наблюдается явле ние, получившее название гироскопичес кого эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось ги роскопа поворачивается вокруг прямой О₃О₃, а не вокруг прямой О₂О₂, как это казалось бы естественным на первый взгляд (O₁O₁ и О₂О₂ лежат в плоскости чертежа, а О₃О₃ и силы F перпендикуляр ны ей).