Интересные задачи

1. Легко проверить, что имеют место равенства:

; ;

; ;

; .

Как записать в общем виде закономерность, которая в них проявляется?

2. Верны равенства:

;

;

;

;

.

Чему равно значение выражения ?

3. Задача индийского математика Б. Бхаскары «Докажите, что

».

Софизмы

а) Докажем, что .

«Доказательство». Запишем верное равенство

16 – 36 = 25 – 45.

Далее имеем:

;

;

;

;

.

Найдите ошибку в рассуждении.

б) Докажем, что половина метра равна пяти сантиметрам.

«Доказательство». Запишем верное равенство

.

Извлекая квадратный корень из обеих частей этого равенства, получим:

.

Объясните, почему так получилось.

Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.

А. Эйнштейн

Модуль 4.

Квадратные уравнения.

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям

УЭ-1. Понятие квадратного уравнения.

Неполные квадратные уравнения

Ваша цель: актуализация основных знаний, умений и навыков по данной теме, полученных на уроках математики.

Входная информация

Понятие квадратного уравнения. Одним из важнейших понятий школьного курса алгебры является понятие квадратного уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах² + bх + с = 0, где х– переменная, а, b, с – некоторые действительные числа, причем а ≠ 0.

Числа a, b и с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, b – вторым коэффициентом и с – своодным членом.

Примеры квадратных уравнений:

Квадратное уравнение называется неполным, если коэффициент b или свободный член равен нулю.

Из определения следует, что неполные квадратные уравнения могут быть трех видов:

1) =0;

2) ax²+ c = 0, где c ≠ 0;

3) ax²+ bx = 0, где b ≠ 0.

Учимся решать неполные квадратные уравнения.

1. Уравнение ах²= 0 имеет единственный корень х= 0. Поскольку а ≠ ≠ 0, а из ax² = 0 следует, что x²= 0, и потому х = 0.

2. Уравнение ax²+ c = 0 (с ≠ 0) равносильно уравнению Возможны два случая.

а) Если < 0, то уравнение не имеет корней, ибо квадрат любого действительного числа неотрицателен.

б) Если > 0, то уравнение имеет два корня:

,

Пример 1. Решим уравнение .

Решение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на – 2:

–2x² = – 14

x² = 7

.

Ответ: .

3. Уравнение ax² +bx = 0 (b≠ 0) равносильно уравнению х(ах+ b)= = 0, откуда или .

Пример 2. Решим уравнение 5x² + 3x = 0.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители: x(5x + 3)=0. Откуда x = 0 или 5x + 3 = 0, т.е. .

Ответ: – 0,6; 0.

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

Устные упражнения

1. Чему равен первый коэффициент, второй коэффициент и свободный член в уравнении:

а) 3х² – 4х + 5 = 0; в) 7х² + 5 = 0; д) 3х – 8 + 6х² = 0;

б) –х² + 3х = 0; г) х² – 10 = 0; е) 7 – х² = 0 ?

2. При каких значениях параметра а уравнение

(а² – 1)²х + 5х – 3 = 0

является квадратным ?

3. Каков план решения неполного квадратного уравнения:

а) ах² = 0; б) ах² + bx = 0; в) ах² + с = 0 ?

4. Какое из уравнений не имеет решений:

а) х² = 0; в) –3х² = –p; д) 7х² – 7 = 0;

б) 3х² = p; г) х² + 25 = 0; е) х² + 1 = 0 ?

5. Найдите корни многочлена:

а) х² – 10; б) х² – 7х; в) 0,5х² – 4х; г) 3х² + 5х.

6. Докажите, что многочлен 3х² + 2 не имеет корней.

7. При каких значениях с многочлен х² + с не имеет корней ?

8. Решите уравнение:

а) х² – 10х + 25 = 0; в) 4х² – 6х + 9 = 0;

б) х² + 6х + 9 = 0; г) 9х² – 24х + 16 = 0;

9. Составьте уравнение, которое имеет два корня, сумма которых равна нулю.

10. Сколько корней может иметь уравнение:

а) х² = р; б) х² = ïрï; в) х² = –ïрï; г) х² + 2 = –ïрï?

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 2. Является ли квадратным уравнение:

а) ; г) 3 – 16x = 0;

б) 13x² – x + 8 = 0; д) 9x³ - 2x = 0•,

в) 0 · x² + 5 – 4x = 0; е) – 0,5x² = 0 ?

Задание 3. Найдите корни уравнения:

а) 5x² – 45 = 0; г) –0,1y² + 40 = 0;•,

б) – x² = 0; д) ;

в) ; е) ;

Задание 4. Решите уравнение:

а) 3x² – 5x = 0; г) ; ж) ;

б) –4x² – x = 0; д) ; з) ;

в) ; е) ; и) .

Задание 5. Решите уравнение:

а) 4x² + 6x = 9x² – 15x; в) 8,5x – 2x² = 3,5x + 3x² ;

б) 12x + 6x² = 5x² – 7x; г) x (x – 6) = 3 (108 – 2х).

Задание 6. Решите уравнение:

а) x² = a; в) a² x² – 9 = 0;

б) x² + a = 0; г)a² x² – ax = 0,

где х – переменная, а – параметр.

Задание 7. Решите уравнение:

а) a(x² + x) = 0; б) ; в) ах² – bх = сх²,

где х – переменная, а, b, с – параметры.

Задание 8. Напишите общий вид квадратного уравнения, в котором:

а) один из корней равен нулю;

б) оба корня равны нулю;

в) корни равны по модулю, но противоположны по знаку.