§12. Локальные экстремумы функции. Необходимые условие -ния локальных экстремумов.

Определение 1. Х₀Д(f) называется точкой loc min функции если  U(x₀), что  xU(x₀) выполняется неравенство f(x)-f(x₀)0.

Определение 2. Х_* назывется точкой loc max если U(x_*), что для  xU(x_*) выполняется неравенство f(x)-f(x_*)0.

Определение 3. Точки loc min и loc max называются точками loc extr.

Теорема о необходимых условиях  loc extr.

Если в х₀ у функции  loc extr то либо первый df(x₀)0, либо первая производная в этой точке не  вообще.

Док-во. Пусть функция диф-ма в U(x₀). Тогда по теореме о диф-ти  f’U(x₀) непрерывная в этой окрестности  всегда можно найти такой отрезок [a, b]U(x₀) и содержащий х₀. В силу непрерывности диф-ти функции, функция будет непрерывной в рассматриваемой окрестности  будет непрерывна на [a, b]  на этом отрезке функция достигает в точке х₀ своего наиб. или наим. значений и  по теореме Ферма в этой точке f’(x₀)=0   ∆xU(x₀) df(x₀)=f’(x₀)∆x0.

2) пусть недиф-ма в точке х₀, но функция непрерывна и имеет в рассматриваемой точке loc extr∄ f’(х₀).

§14. Глобальные экстремумы функции.

Определение 1. Х₀ называется точкой глобального минимума функции на некотором , если х f(x)-f(x₀)0.

Определение 2. Х_* есть точка glob max на некотором , если х f(x)-f(x₀)0.

Определение 3. Glob max и glob min называются точками glob extr функции.

Теорема 1. Если функция определена и непрерывна на [a,b] то обязательно  glob max и glob min.

Док-во. По свойствам функции непрерывной на отрезке, функция непрерывная на указанном отрезке хотя быодин раз, достигает на этомотрезке хотя бы раз своих наиб. и наим. значений. Тогда по определению наиб. и наим. значений, эти значения и будут соответственно glob max или glob min.

Билет II(11).

§13. Достаточные условия  loc extr.

Теорема 1. Теорема о первой производной.

Пусть х₀  К₁, тогда, есди х₀ разделяет интервалы возрастания и убывания функции, то эта точка – точка loc extr.

Док-во. Пусть х₀ такова, что в левосторонней окрестности f’(x₀)>0, а в правосторонней окрестности f’(x₀)<0  в левосторонней окрестности f, а правосторонней f  в левосторонней окрестности ∆f(x₀) имеет вид ∆f(x₀)=f’()∆x, где ∆х=х-х₀<0  ∆f(x₀) в левосторонней окрестности =[+;-]<0. ∆f(x₀)=f(x₀+∆x)-f(x₀)=f(x)-f(x₀) и при этом х есть предыдущее, х₀-последующее значение. F(x)-f(x₀)=0.

Для правосторонней окрестности ∆f имеет тот же вид, с той разницей, что ∆х=х-х₀>0∆f(x₀)=[-,+]<0f(x)-f(x₀)<0по определению х₀ есть loc extr.

Теорема 2. Пусть x₀K₁ и в U(x₀) функция непрерывно диф-ма до второго порядка включительно, то f’’(x₀)>0, то х₀: loc min.

Билет 11(12).

§11. Интервалы возрастания и убывания.

Определение 1.Функция f называется возрастающей на множестве  если для  х_* х_**, из которых х_* - прыдыдущее значение. х_** - последующее значение независимой переменной . F(х_*)f(х_**).

Определение 2. Функция убывающая, если последующее значение больше предыдущего F(х_*)f(х_**).

Определение 3. Если в определениях 1 и 2 неравенства строгие, то функции называются строговозрастающими(убывающими) на соответствующих интервалах.

Теорема. f на интервале  необходимо и достаточно, чтобы f’>0 на этом интервале. Соответственно f f’<0.

Док-во. Пусть функция , тогда по определению f(х_**)-F(х_*)>0.последнее неравенство  ∆f(x_*)>0, если ∆x=х_**-х_*  по формуле конечных приращений  ∆f(x_*)=f()∆x>0f’>0.

Пусть f’>0, тогда  x₀, x₀+∆x   ∆f(x₀)=f’()∆x  если ∆x>0 то х₀+∆х есть последующее значение  ∆f(x₀)>0  f(x₀)+∆x-f(x₀)>0 и последующее значение функции функции не меньше предыдущего  f (по определению); аналогично рассматривается случай если ∆x<0.

Билет 11(13).