§5. Бесконечно большие и бесконечно малые.

Определение 1. Переменную х называют бесконечно большой положительного знака, если М>0 все значения переменной начиная с некоторого будут удовлетворять неравенству х>М, при этом limx=+.

Определение 2. х называется бесконечно большой отрицательного знака, еали М>0 все значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству х<-М.

Limx=-  x- limx=  x x:+  х есть б.б. положительного знака.

Определение 3. Х называется бесконечно большой, если М>0 все значения переменной начиная с некоторого удовлетворяют неравенству х>М.

Определение 4. Х называется бесконечно большой, если М>0 все значения переменной начиная с некоторого удовлетворяют неравенству хМ.

Из определения предела  если x:=-, то limх=0 (х0), (х:=0)

Теорема 1. х:=0, то +.

Док-во. Пусть х:=-, Е>0  x<E   . Естественно, что если Е, то y>M= , где y= .

Определение 5. Ф. Называется б.б. (+) в окрестности а, если все значения ф. Удовлетворяют неравенству f(x)>M>0. хU_(a),  при этом limf(x)=+ (xa).

Определение 6. Ф. Называется бесконечно малой U(a), если >0 как только х-а< и =(Е, а)  limf(a)=0 (x0).

Билет I(4).

Основные теоремы о бесконечно малых.

Лемма – основная теорема.

Конечное множество бесконечно малых (либо переменных) (либо функций х=а) :

тогда любая сумма бесконечно малых есть бесконечно малая.

Любое конечное произведение б.м. есть б.м.

Любая конечная линейная комбинация б.м. есть б.м

§6. Определение 1. , :=[0]. Если lim = =0, (ra), то  называется бесконечно малой более высокого порядка малости относительно бесконечно малой . =().

Определение 2. Если предел отношения этих 2 б.м. равен некоторому конечному числу с, то б.м-е называются б.м-ми одинакового порядка малости. =().

Определение 3. Если предел отношения б.м-ых равен 1, то б.м-е называются эквивалентными. =.

Определение 4. Если  и  - б.м-е, и предел отношения оказывается равен любому с0, то б.м.  называется б.м-ой п-ого порядка малости относительно .

Билет I(5).

§7. Леммы о пределах 1 функции.

Теорема 1. Для того, чтобы в окрестности х=а  бы конечный lim функции, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая окрестная точка а, что для любого хU_а функция может быть представлена в виде f(x)=A+(x), при этом число А и есть предел функции.

Док-во. Пусть А является lim функции в рассматриваемой U, тогда из определения предела функции , что для любого Е>0 есть =(Е,а), что для любого х из U_(а) будет иметь место неравенство: f(x)-A<E, последнее же означает, что f(x)-A=(х) в рассматриваемой окрестности  f(x)=А+(х).

Пусть  U_(а), что для любого хU_(а) функция может быть представлена в виде f(x)=А+(х) (х)=[0]  f(x)-A=(х), что по определению означает, что  Е>0 есть , что из принадлежности хU_(а) будет выписано неравенство  в силу обозначений, что будет иметь место неравенство f(x)-A<E, что на языке дельта означает, что А=limf(x) (xa).

Теорема 2. Вейрштрасс.

Если в окрестности точки х=а функция является возрастающей и ограниченной сверху либо является убывающей и ограниченной снизу, то в окрестности этой точки у функции есть предел.

2. Теорема (1). Если есть пределы функции f(x) и g(x) (xa) в одной окрестности, то и  предел любой их линейной комбинации, то есть есть предел lim(₁f(x)+₂g(x)), ₁₂R.

Теорема (2). Если  пределы f(x) и g(x) то  предел производной limf(x)*g(x)=limf(x)*lim g(x).

Теорема (3). Если  kimf(x) и g(x) и при этом limg(x)­­0, тогда  предел отношений .

3. Теорема (1). если в окрестности некоторой точки значение f(x)0 и  предел этой функции, то и limf(x) 0. если в окрестности некоторой точки значение всегда  значения другой функции и есть пределы тогда и limf₁(x) limf₂(x) (xa).