Билет I (1).

§1. Переменные, функции.

Определение 1. Задана некоторая числовая переменная, если указано числовое множество, на котором эта переменная определена. Другими словами, задать числовую переменную – значит указать то числовое множество, на котором эта переменная или из которого эта переменная принимает свои значения.

Определение 8.  функция, незaвисимой переменной у которой выступает переменная, определенная на множестве натуральных чисел называется числовой последовательностью f(n)=x_n.

§3. Предел переменной.

О пределение 1. Пусть а – некоторое число, (Е - эпсилон) окрестностью числа а точки а называется числовое множество U_E(a)=xR:x-a<E a-E a+E

Если речь идет об Е окрестности некоторой точки, рассматривается бесконечность, то есть содержит сколько угодное количество множеств указанного вида, так как Е не определено.

То есть задано некоторое х, число а – называется пределом переменной, если для любого Е>0 сколь бы мало оно бы ни было все значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству х-а<E   x:x-a<E или все значения переменной начиная с некоторого принадлежат U_E(a)   xU_E(a) сколь бы мало оно бы ни было.

§3. Теорема 1. Если переменная является постоянной, то предел постоянной есть сама эта постоянная.

Теорема 2. Если у переменной  предел, то он единственный.

Док-во: от обратного.

П усть, например у переменной есть два предела, в и а. Будем считать, что в>a>0, но, из определения предела  Е>0 одновременно будут выполнены неравенства х-а<E

х-в<E

Е = , но, начиная с некоторого значения переменноой, будут одновременно выполнятся неравенства: х-а< 

х-в<  невозможно.

В силу получения противоречия предположение является ошибочным   1 предел.

§4. Предел функции.

Определение 1. Пусть задана числовая последовательность (f(n) или x_n). Число А называется пределом числовой последовательности f(n), если Е>0 найдется такое натуральное число п_*(Е), что для всех последовательных значений переменной, то есть п>п_*, будет выполнено неравнство f(n)-A<E, limf(n)-A (n).

Билет I (2).

Определение 2. Пусть х  Х подмножества с, а у  У, тогда на Х задана некоторая функция одного действительного переменного, если указана правило, по которому каждому значению х ставится в соответствие единственное вполне конкретное значение у и при этом 

1)Х называется областью определения функции Х=Д(f)

2)х называется независимой переменной или аргументом функции

3)у называется зависимой переменной или значением функции

4)то, что функция задана символически, записывается в одной из следующих форм f у=f(x) или fX→У, Д(f)=X

§2 Основные типы, виды функции.

Определение 1. Следующие функции относятся к классу так называемых основных элементарных функций:

F: y=x^, где D(f)=  степенные функции.

F: y=a^x, где 0<a<1 или a>1  показательные функции.

F: y=log_ax, где 0<a<1 или a>1  логарифмические функции.

Sin, cos, tg, ctg  тригонометрические функции.

Arcsin, arccos, arctg, arcctg  обратные тригонометрические функции.

2. Определение 2. Говорят, что функция задана аналитически если правило или закон, определяющие или задающие эту функцию, записано в виде некоторого аналитического выражения или формулы. При этом множество значений независимых переменных, на котором записанное аналитическое выражение имеет смысл называется естественной областью определения функций.

Определение 3. Говорят, что функция задана неявно, если она задана при помощи некоторого уравнения вида f(x,y)=0. При этом должно быть указано, какая из переменных рассматривается как независимая, а какая как зависимая, так как в противном случае любое такое уравнение определяет на самом деле не одну, а семейство функций.

Определение 2. Пусть f:y=f(x), число А называется пределом значений функций или просто пределом функции в окрестности точки а, если Е>0 найдется (Е,а), что из выполненого неравенства х-а< f(x)-A<E, другими словами а есть предел значений функции в окрестности а, если найдется такие значения (Е,а), что хU_(а)y=f(x) при Е>0.

Определение 1. А₊ - называется правосторонний предел функции или lim значений функции справа. Для  Е>0 найдется (Е,а), что из выполненных неравенств х-а< и х>0  f(x)- А₊<E.

Определение 2. А_- - называется левосторонний предел функции или lim значений функции слева. Для  Е>0 найдется (Е,а), что из выполненных неравенств х-а< и х<a  f(x)- А_-<E.

А₊limf(x) (xa+0)  limf(x) ({xa, x>a}).

Билет I(3).

3. Определение 4. Функция F:y=f(x), где d(f)= называется ограниченной сверху, если найдется такое большое число М, что для любого значения х будет выполнено неравенство f(x)=y<M. Аналогично определяется функция, ограниченная снизу: f(x)=y>M.

Определение 5. Функция называется ограниченной, если  такое М>0, что для всех значений переменной х имеет место неравенство f(x)<М.

Замечание 3. Sin, cos.