Релятивистская квантовая механика Элементарные частицы в квантовой механике. Уравнение Клейна-Гордона. Релятивистское уравнение для частицы с нулевым спином
В настоящее время известно очень большое число элементарных частиц. Будем считать, что ЭЧ характеризуется определенным значением массы покоя и могут быть либо нейтральными либо электрически заряженными. Абсолютная величина электрического заряда частиц равна заряду электрона. ЭЧ могут иметь целый или полуцелый спин.
Согласно
современным представлениям взаимодействие
между частицами одного типа передается
с помощью частиц другого типа заряженных
нейтрально.
-мезоны
передают ядерное взаимодействие между
нуклонами. Теряет смысл понятие
изолированной частицы того или иного
вида. Свободное движение –грубая
идеализация действительности. Теряет
смысл также представление о неизменности
числа частиц.
Описание
явлений, происходящих при больших
энергиях должно базироваться на
уравнениях, инвариантных относительно
преобразований Лоренца. Переход от
нерелятивистского описания к
релятивистскому связан с тем, что
нерелятивистская квантовая теория
допускает возможность как угодно точной
локализации частицы в пространстве и
времени. В релятивистской теории одной
частицы невозможно локализовать частицы
в пространстве, линейные размеры которой
меньше
.
В силу соотношения неопределенностей
Гейзенберга частице будет сообщена
энергия
,
достаточная для рождения двух частиц.
Таки образом, представления об одной
частице можно сохранить только при
отсутствии внешних взаимодействий,
приводящих к локализации частицы в
пространстве.
Понятие
координаты в общем смысле отсутствует.
Если имеется не определенность в
определении координаты
то неизбежна неопределенность во времени
.
Поэтому в релятивистской теории понятие
плотности вероятности определения
положения частицы в определенный момент
времени требует существенного пересмотра
-промежуток времени, в течении которого реализуется движение
в случае свободного движения частиц
Поэтому
для свободного движения частицы когда
ее импульс не меняется с течением времени
составляющие движения описываются
волновыми пакетами имеет с смысл введение
плотности вероятности определенного
значения импульса для свободного
движения частицы когда импульс не
меняется с течением времени
,
то есть удобно использовать импульсное
представление
Волновое УШ, соответствующее нерелятивистской связи между энергией и импульсом частицы массой
(1)
(2)
Уравнение (1) можно получить формальным
путем из (2) с помощью преобразования
если
(3)
Чтобы получить волновое уравнение для движения частиц с релятивистскими скоростями, нужно исходить из релятивистской связи между энергией и импульсом
(4)
(5) Уравнение Клейна-Гордона
При наличии электромагнитного поля мы
энергию должны заменить на
,
(6)
Сделав эту замену, получим
(7)
Вернемся к уравнению Клейна-Гордона (5). Инвариантность проявляется более ярко, если ввести четырехмерный вектор импульса
(8)
Соотношение между энергией и импульсом релятивистской теории Эйнштейна
(9)
Соответствующий переход к операторам
имеет вид
,
(10)
(11)
Запишем аналитическое уравнение для комплексно-сопряженных функций
(5’)
Совершим операцию
(12)
Если мы теперь определим плотность
заряда и плотность тока в виде
(13)
Увидим что выполняется условие непрерывности
(14)
Уравнение непрерывности, которое имеет
релятивистски инвариантную форму.
Введем четырехмерный вектор плотности
тока
(15)
(16)
Из релятивистского уравнения Клейна-Гордона к УШ переходят с помощью унитарного преобразования
(17)
(18)
(19)
Подставляя (17), (13) и (14) получим
Особенность уравнения Клейна-Гордона
– это дифференциальное уравнение
второго порядка относительно времени,
поэтому для определения изменения ВФ
с течением времени нужно знать значение
ВФ и ее производной в начальный момент
времени
,
Возьмем производную и подставим в
выражение для плотности заряда. Можем
получить что
может принимать любые
значения. Но плотность вероятности
сугубо положительная величина, поэтому
нельзя интерпретировать как плотность
вероятности. Эта трудность была причиной
того, что это уравнение было непризнанно.
Впоследствии выяснилось, что уравнение
описывает частицы с нулевым спином:
фотоны,
-мезоны.
В микромире имеется возможность рождения
и уничтожения частиц. Общее число частиц
изменяется, поэтому в процессе движения
нельзя проследить за одной частицей,
однако величина суммарного заряда
сохраняется, поэтому вместо плотности
вероятности удобно рассматривать
плотность вероятности электрического
заряда. Множество
определено знаком соответствующей
частицы. Из уравнения непрерывности
следует закон сохранения суммарного
заряда
.
Плотность заряда – разность между
числом положительных и отрицательных
зарядов, поэтому не является положительно
определенной величиной. Уравнение
Клейна-Гордона не имеет вероятностную
интерпретацию в смысле УШ.