![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Теория квантовых переходов. Общее выражение для вероятности перехода из одного состояния в другое
- •Внезапное изменение взаимодействия
- •Переходы под действием периодического возмущения
- •Поглощение и излучение света. Вероятность перехода.
- •Спонтанное и индуцированное излучение. Коэффициенты Эйнштейна.
- •Время жизни возбужденного состояния атома
- •Принцип соответствия
- •Правило отбора для гармонического осциллятора. Интенсивность излучения
- •Правило отбора для оптических электронов в атоме
- •Релятивистская квантовая механика Элементарные частицы в квантовой механике. Уравнение Клейна-Гордона. Релятивистское уравнение для частицы с нулевым спином
- •Уравнение Дирака
- •Решение уравнения Дирака для свободных частиц
- •Состояния с отрицательной энергией. Понятие об электронно-позитронном вакууме
- •Момент количества движения электрона в теории Дирака. Спин. Полный момент импульса. Шаровые спиноры.
- •Релятивистские поправки к движению электрона в электромагнитном поле. Уравнение Паули. Спиновый магнитный момент
- •Атом водорода с учетом спина электрона. Энергетические уровни. Правила отбора с учетом спина электрона. Тонкая и сверхтонкая структура
- •Ковариантная форма уравнения Дирака
- •Зарядовое сопряжение. Частицы и античастицы
- •Уравнения Дирака для частицы с нулевой массой покоя. Нейтрино. Спиральность и инвариантность нейтрино относительно операции комбинированной инверсии. Срт- инвариантность.
- •Атом во внешнем магнитном поле. Нормальный и аномальный эффекты Зеемана.
- •Атом во внешнем электрическом поле. Эффект Штарка.
- •Квантовые системы, состоящие из одинаковых частиц
- •Симметричные и антисимметричные волновые функции. Схемы Юнга.
- •Теория основного состояния атомов с двумя электронами
- •Возбужденные состояния атома гелия. Орто- и парагелий
- •Вариационный метод Ритца
- •Метод самосогласованного поля Хартри — Фока
- •Адиабатическое приближение
- •Основные виды химической связи
- •Молекула водорода.
- •Теория валентности
- •Силы Ван-дер-Ваальса.
- •Энергетические уровни двух-атомных молекул.
- •Теория упругого рассеяния
Внезапное изменение взаимодействия
В течении короткого времени
,
малого по сравнению с периодом колебаний
в атомной системе
(5)
Если теперь посмотреть на выражение (2) (коэффициенты первого порядка), то при внезапном выключении взаимодействия производная становится сколь угодно большой. Соответствующий вклад в интеграл только за счет множителя . За промежуток времени он практически не изменяется. Поэтому экспонента выносится за знак интеграла.
Интегрируя, получаем, что вероятность перехода
(6)
;
-
размер атома,
- скорость света
За это время происходит
распад. Для вычисления вероятности
перехода можно воспользоваться тем
обстоятельством, что волновая функция
в начальный момент времени (момент
включения взаимодействия) не меняется.
Пусть в момент времени
система находится в состоянии
соответствующем ВФ
которая является СФ оператора Гамильтона
.
Предположим что при
происходит внезапное изменение оператора
Гамильтона и далее он остается неизменным
и равным
,
а разница
значительна. Обозначим СФ оператора
через
,
а СЗ через
.
По условию в момент времени
система описывалась волновой функцией
,
которая сохраняется и при включении
взаимодействия. Разложим ее в ряд по СФ
(1)
- коэффициенты разложения, которые
представляют собой интеграл, имеющий
вид:
(2)
Квадраты модулей коэффициентов разложения
представляют собой вероятность перехода
:
(3). Дальнейшие изменения состояние
системы с течением времени будут
описываться волновыми уравнениями
Шредингера
(4)
(5)
В качестве примера вычислим вероятность
возбуждения электрона в атоме при
внезапном изменении заряда ядра. Для
упрощения расчетов предположим, что
атом содержит 1 электрон (водородоподобный
атом). Предположим, что первоначальное
состояние было
состояние (невозбужденное основное)
(6)
После внезапного изменения заряда ядра ВФ стационарного состояния будут соответствовать водородоподобным ВФ
(7)
В соответствии с формулой (2) (3) вероятность
возбуждения уровня с индексами
будет
определяться квадратом модуля коэффициента
(8)
Интеграл по угловым переменным в силу
ортогональности шаровых функций будет
в
случае если
будет составлять
состояние
Запишем ВФ для
состояния
(9)
(10)
Вероятность перехода под влиянием возмущения, зависящего от времени
Определим вероятность перехода квантовой
системы из состояния
под действием возмущения
,
которое имеет вид
(1)
Мы считаем, что матричный элемент
оператора возмущения очень мал, поэтому
первое приближение верно для времен
.
Тогда получим, что коэффициент разложения
(2_
Полученное выражение для коэффициента
разложения имеет простой смысл. Возмущение
мы можем разложить в интеграл Фурье
(3)
-
Фурье-образ
(4)
Матричный элемент оператора возмущения мы представим в следующем виде:
(5)
- матричный элемент от Фурье-образа оператора возмущения
Применим теорему Фурье и получим выражение для матричного элемента
(6)
Сравнивая выражение (6) с выражением (2) мы видим, что коэффициенты разложения 1 порядка теории возмущения равны
(7)
Отсюда вероятность перехода из состояния с энергией будет равна
(8)
Полученная формула для вероятности
квантового перехода содержит важный
результат. Из нее видно, что вероятность
перехода
когда
матричный элемент Фурье-компоненты, то
есть переход
возможен лишь в том случае, когда в
спектре возмущения содержится частота
перехода
(9), то есть квантовый переход носит
резонансный характер. Положение выглядит
так, как если бы квантовая система
являлась совокупностью осцилляторов
с собственными частотами равными
частотам Бора. При действии внешнего
переменного воздействия возбуждаются
только те осцилляторы, частоты которых
совпадают с частотами, присутствующими
во внешнем возмущении.
Вероятность перехода под влиянием возмущения, не зависящего от времени
Рассмотрим случай, когда оператор
возмущения имеет постоянное значение,
равное
,
между моментами включения и выключения
взаимодействия и скачком изменяется
до нуля вне пределов этого интервала.
(1)
Так как матричный элемент оператора возмущения не зависит от координат, его можно вынести в выражении для коэффициентов разложения первого порядка теории возмущения
(2)
А вероятность перехода за время действия
возмущения будет определяться формулой
(3), где функция
(4)
Рассмотрим подробнее эту функцию. При
возникает неопределенность
,
раскрываемая по правилу Лопиталя функция
принимает максимальное значение
либо
…
Функция обращается в ноль
При малых значениях
вероятность перехода пропорциональна
.
При достаточно больших значениях
по сравнению с
(характерное время) эта функция
(5)
(6)
При
предел
равен нулю, а при
имеем
,
так что предел равен бесконечности.
Интегрируя же по
в пределах от
до
(делаем подстановку
)
получим
(7)
Отсюда формула для вероятности
(8)
(9)
Под влиянием постоянного возмущения переходы происходят лишь между состояниями с одинаковыми значениями энергии
,
то есть вероятность пребывания системы
в состоянии с энергией
равна единице при
,
где
- время жизни состояния
,
поэтому формула для вероятности
квантового перехода из
для времен
значительно меньше времен жизни состояния
для времен
,
удовлетворяющих неравенству
.
Во всех системах либо конечные, либо
начальные состояния принадлежать
непрерывному спектру. Измерения же
сводятся к определению полной вероятности
перехода во все состояния
,
обладающие почти одинаковой энергией
и одинаковыми матричными элементами
оператора возмущения. Для получения
такой вероятности нужно просуммировать
выражение (9) по всем состояниям
и усреднить по начальным состояниям
,
обладающим одинаковыми значениями
матричных элементов. Этим и оправдываются
введения этого выражения с использованием
функции. Если обозначить число конечных
состояний данного типа, приходящихся
на единичный интервал энергии
за
,
то полная вероятность перехода в единицу
времени будет определяться выражением
(11)
Это условие выражает закон сохранения энергии при квантовом переходе. Выражение носит называние «Золотое правило Ферми»