- •Теория квантовых переходов. Общее выражение для вероятности перехода из одного состояния в другое
- •Внезапное изменение взаимодействия
- •Переходы под действием периодического возмущения
- •Поглощение и излучение света. Вероятность перехода.
- •Спонтанное и индуцированное излучение. Коэффициенты Эйнштейна.
- •Время жизни возбужденного состояния атома
- •Принцип соответствия
- •Правило отбора для гармонического осциллятора. Интенсивность излучения
- •Правило отбора для оптических электронов в атоме
- •Релятивистская квантовая механика Элементарные частицы в квантовой механике. Уравнение Клейна-Гордона. Релятивистское уравнение для частицы с нулевым спином
- •Уравнение Дирака
- •Решение уравнения Дирака для свободных частиц
- •Состояния с отрицательной энергией. Понятие об электронно-позитронном вакууме
- •Момент количества движения электрона в теории Дирака. Спин. Полный момент импульса. Шаровые спиноры.
- •Релятивистские поправки к движению электрона в электромагнитном поле. Уравнение Паули. Спиновый магнитный момент
- •Атом водорода с учетом спина электрона. Энергетические уровни. Правила отбора с учетом спина электрона. Тонкая и сверхтонкая структура
- •Ковариантная форма уравнения Дирака
- •Зарядовое сопряжение. Частицы и античастицы
- •Уравнения Дирака для частицы с нулевой массой покоя. Нейтрино. Спиральность и инвариантность нейтрино относительно операции комбинированной инверсии. Срт- инвариантность.
- •Атом во внешнем магнитном поле. Нормальный и аномальный эффекты Зеемана.
- •Атом во внешнем электрическом поле. Эффект Штарка.
- •Квантовые системы, состоящие из одинаковых частиц
- •Симметричные и антисимметричные волновые функции. Схемы Юнга.
- •Теория основного состояния атомов с двумя электронами
- •Возбужденные состояния атома гелия. Орто- и парагелий
- •Вариационный метод Ритца
- •Метод самосогласованного поля Хартри — Фока
- •Адиабатическое приближение
- •Основные виды химической связи
- •Молекула водорода.
- •Теория валентности
- •Силы Ван-дер-Ваальса.
- •Энергетические уровни двух-атомных молекул.
- •Теория упругого рассеяния
Вариационный метод Ритца
В ряде случаев приближенное вычисление первых дискретных состояний квантовых систем может быть проведено с помощью вариационного метода. Вариационный метод вычисления
первых собственных значений оператора Гамильтона не использует теории возмущений и не требует знания всех решений более простых уравнений. Вариационный метод вычисления энергии основного состояния системы сводится к использованию неравенства
(1)
(2)
произвольная функция, которая удовлетворяет условию нормировки (2).
Докажем неравенство (1). Пусть представляет совокупность собственных волновых функций оператора Гамильтона. Тогда любую функцию можно разложить в ряд по СФ оператора Гамильтона.
(3)
(4)
Подставим в разложение, найдём сопряженную ВФ
(3’)
Таким образом, мы доказываем неравенство (1)
Таким образом, вычисление энергии основного состояния квантовой системы сводится к вычислению минимума интеграла при выполнении условия
(5)
Практическое вычисление энергии основного состояния с помощью выражения (5) сводится к выбору «пробной функции», содержащей некоторое число неизвестных параметров
После вычисления интеграла (6)
получают выражение , зависящее от этих параметров. Определение искомых значений параметров, вследствие (5) , сводится к отысканию минимума , т. е. к решению системы уравнений
(7)
При удачном выборе вида пробной функции, получаемое значение
(8)
будет близко к истинному значению даже при сравнительно малом числе использованных параметров. Волновая функция основного состояния системы будет приближенно совпадать
с функцией
Указанный выше метод отыскания энергии основного состояния носит название прямого вариационного метода, или метода Ритца. Выбор пробных функций базируется на качественном
анализе решений с учетом симметрии задачи. В случае удачного выбора пробной функции хорошие результаты для энергии получаются уже при использовании одного параметра.
Если обозначить через волновую функцию основного состояния системы, то вычисление энергии первого возбужденного состояния сводится к решению вариационной задачи
(9) при дополнительных условиях (10)
Доказательство этого утверждения можно провести таким же образом, как и для случая основного состояния, если мы учтем, что, в силу условия ортогональности (10), разложение функции пo собственным функциям оператора не содержит функции , т. е.
Вычисление второго возбужденного уровня сводится к решению вариационной задачи
при дополнительных условиях (14).
Вычисление третьего возбужденного уровня сводится к решению вариационной задачи при четырех дополнительных условиях. Следовательно, при вычислении высоких возбужденных состояний вариационная задача значительно усложняется. В некоторых случаях требуемые условия ортогональности выполняются при подходящем выборе пробных функций просто в силу свойств симметрии. Например, при исследовании состояний движения частицы в центрально-симметричном поле ортогональность состояний, соответствующих разным угловым моментам, обеспечивается ортогональностью соответствующих сферических функций.