Понятие случайной величины

Случайная величина (СВ) – второе основное понятие теории вероятностей. В отличие от случайного события, случайная величина это переменная.

Определение. Случайной величиной называется переменная, которая может принимать различные значения в зависимости от обстоятельств.

Примеры: урожай картофеля с га, число родившихся за день мальчиков, рост девочек определенного возраста и т.д.

Случайные величины принято обозначать последними заглавными буквами латинского алфавита: X, Y, Z и т.д. Значения этих величин обозначаются соответствующими малыми буквами: х, у, z и т.д.

Классификация СВ

Дискретными называются СВ, которые принимают отдельные возможные значения (ДСВ).

Например: число, присутствующих на семинаре студентов из группы 25 человек, может иметь значения 0, 1, 2, …, 25.

Непрерывными называются СВ, которые могут принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка (НСВ).

Например: время работы электрической лампочки, рост мальчиков одного возраста.

Способы задания случайных величин

Дискретная СВ считается заданной, если известны все ее возможные значения х₁, х₂, …, х_n и вероятности, с которыми принимаются эти значения р₁, р₂, …, р_n. Эти данные принято записывать в форме таблицы:

Х	х1	х2	…	хn
Р	р1	р2	…	рn

Эту таблицу называют рядом распределения ДСВ.

Отметим, что события Х = х₁, Х = х₂, …, Х = х_n (т.е. СВ Х принимает значение х₁ и т.д.) образуют полную группу, так как они несовместимые и одно из них обязательно произойдет. Следовательно, сумма вероятностей p_i равна 1:

.

Пример 21. Фирму обслуживает три автомашины. Вероятность поломки каждой в течение года равна 0,6. Составить ряд распределения СВ – числа поломавшихся автомашин в течение года.

Решение. Х – число, поломавшихся автомашин может быть равно 0, 1, 2, 3. Так как вероятность поломки постоянна, то воспользуемся формулой Бернулли (16).

Вероятность, что ни одна автомашина не сломается, т.е. Х примет значение равное нулю, находится как

Вероятность, что сломается одна машина из трех равна

.

Аналогично находятся вероятности поломки двух и трех автомашин

Теперь составим ряд распределения Х

Х	0	1	2	3
Р	0,064	0,288	0,432	0,216

Очевидно, что если ДСВ имеет много значений, то задавать ее в форме ряда распределения неудобно. Поэтому разработан другой способ – с помощью функции распределения.

Функцией распределения СВ Х называется функция , равная вероятности того, что СВ Х примет значение, меньше данного х.

С помощью функции распределения можно задать и непрерывную СВ.

Обычно для дискретной СВ функцию распределения представляют графически в виде кусочно–постоянной функции.

Пример 22. Составить функцию распределения по условиям примера 21.

Решение. Так как по условию Х не принимает значений, меньших нуля, то вероятность события при равна нулю (невозможное событие).

При вероятность события равна 0,064, так как в этом случае СВ Х может иметь только значение 0 с вероятностью 0,064.

В промежутке , вероятность события будет равна сумме вероятностей 0,064 + 0,288 = 0,352, так как в этом случае СВ может принимать два значения 0 и 1. Тогда по теореме сложения вероятностей и получаем указанное значение.

Рассуждая аналогично, получим, что вероятность события в промежутке равна сумме

0,064 + 0,288 + 0,432 = 0,784

Запишем теперь функцию распределения в виде

Построим график функции распределения

1,0

0,784

0,352

0,064

0 1 2 3 х

Как видно, функция постоянна на интервалах, где нет ее значений, и имеет скачки в точках, соответствующих ее значениям. Эти скачки равны вероятностям, с которыми СВ принимает свои значения.

Заметим, что функция отражает вероятности событий, и, следовательно, не может иметь значений меньше 0 и больше 1.