Интегральная теорема Лапласа
В том случае, когда требуется найти вероятность того, что событие А появится не менее к1 и не более к2 раз в n опытах, используются интегральные формулы Лапласа:
(18)
или
,
где
,
,
.
Здесь
функция
–функция
Лапласа находится по специальным
таблицам при
.
При
следует иметь ввиду, что
.
При
полагают
.
Пример 18. При выпуске продукции 20% изделий не подвергаются контролю на качество. Какова вероятность того, что среди 400 изделий, выбранных случайно, окажется от 70 до 100 непроверенных изделий.
Решение.
Из условия задачи вероятность того,
что изделие не пройдет контроль равна
.
Тогда
.
Найдем искомую вероятность по формуле
.
Найдем
,
.
Теперь по таблице находим
;
.
Окончательно получим
.
Формула полной вероятности
Если событие В происходит вместе с одним из событий А1, А2,…, Аn, образующих полную группу несовместимых событий, то имеет место формула
.
Тогда вероятность события В находится по формуле полной вероятности
.
Пример 19. В магазин поступили замки, изготовленные на трех заводах. Установлено, что продукция первого завода содержит 20% бракованных изделий, второго – 10%, третьего – 5%. Среди замков, взятых на реализацию, 30% изготовлено на первом заводе, 20% - на втором, 50% - на третьем. Какова вероятность купить исправный замок.
Решение. Обозначим события:
В – куплен исправный замок,
А1 – куплен замок, изготовленный на первом заводе,
А2 – куплен замок, изготовленный на втором заводе,
А3 – куплен замок, изготовленный на третьем заводе.
Тогда, так как события А1, А2, А3 несовместимые и образуют полную группу, и событие В происходит вместе с одним из этих событий, искомую вероятность найдем по формуле полной вероятности.
Представим событие В как
Эта формула означает, что куплен исправный замок с первого завода или со второго, или с третьего завода.
.
Найдем все вероятности, входящие в эту формулу. Из условия задачи имеем
,
,
.
Условные вероятности равны
.
Итак, получим
Формула Бейеса
Эта формула применяется для нахождения условной вероятности события Аi в предположении, что событие В уже произошло. При этом известно, что событие В может произойти вместе с одним из несовместимых событий А1, А2, … Аn, образующих полную группу.
Формула Бейеса имеет вид:
.
Пример 20. Товар находится в трех одинаковых упаковках. В первой упаковке 20 изделий первого сорта. Во второй – 10 изделий первого сорта и 10 изделий второго сорта. В третьей – 20 изделий второго сорта. Из взятой наугад упаковки вынули изделие первого сорта. Найти вероятность того, что это изделие взято из первой упаковки.
Решение. Обозначим события:
В – взято изделие первого сорта,
А1 - взято изделие из первой упаковки,
А2 - взято изделие из второй упаковки,
А3 - взято изделие из третьей упаковки.
События А1, А2, А3 образуют полную группу. Нужно найти условную вероятность
Теперь найдем вероятности всех этих событий. Так как события А1, А2, А3 равновероятны, то
.
Вероятность взять изделие первого сорта из первой упаковки равна
.
Вероятность взять изделие первого сорта из второй упаковки равна
.
Вероятность взять изделие первого сорта из третьей упаковки равна
.
Тогда, окончательно, получим
.