Теорема сложения вероятностей

Второй метод нахождения вероятности основан на применении теорем.

Для несовместимых событий вероятность суммы конечного числа событий равна сумме их вероятностей.

(9)

Если условие несовместимости событий не выполняется, то вероятность суммы двух событий находится по формуле

(10)

Пример 12. Комплект ламп состоит из двух белых, трех красных и пяти синих ламп. Наугад извлекается одна лампа. Какова вероятность, что она не белая.

Решение. Обозначим события:

А – извлечь красную лампу, В – извлечь синюю лампу.

Тогда событие – извлечь не белую лампу, запишется как

.

Так как события А и В несовместимы, то

.

Теорема умножения вероятностей

С помощью этой теоремы находится вероятность совмещения событий. При этом используется понятие условной вероятности, под которой понимается вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло. Обозначается или .

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, то есть

или (11)

Если события А и В независимы, то есть вероятность одного из них не изменяется, когда другое уже произошло, то условная вероятность равна безусловной, .

Тогда теорема умножения имеет вид:

(12)

Пример 13. В партии из 25 ламп 4 неисправны. Наугад вынули две лампы. Найти вероятность того, что обе окажутся неисправны.

Решение. Обозначим события:

А – первая взятая лампа неисправна,

В – вторая взятая лампа неисправна.

Тогда событие, состоящее в том, что обе взятые лампы неисправны запишется как произведение .

Так как события А и В зависимы, то

.

Вероятность события А найдем по формуле (3)

.

Так как после того, как событие А произошло, общее число ламп и число неисправных ламп уменьшится на 1, то

.

Итак, имеем

.

При решении задач часто используются совместно обе теоремы. Одну и ту же задачу можно решить и с помощью формул комбинаторики, и по теоремам, раскладывая искомое сложное событие на более простые.

Пример 14. Фирма приобрела две партии товара. В первой партии 20 цветных и 5 белых изделий; во второй партии 12 цветных и 3 белых изделия. Наугад выбирают по 1 изделию из каждой партии. Какова вероятность, что а) только одно из взятых изделий цветное, в) оба взятых изделия цветные.

Решение. Обозначим события:

– взятое изделие из первой партии цветное,

– взятое изделие из второй партии цветное.

Тогда событие В, состоящее в том, что только одно из взятых изделий цветное, запишется формулой:

,

то есть окажется, что изделие из первой партии цветное, а из второй – белое, или наоборот.

Так как события и , и независимы, то по формулам (9) и (12) получим

.

Теперь найдем вероятности событий по формуле (3):

, .

Тогда вероятность противоположного события равна

,

.

Итак, имеем

.

Обозначим через С событие, состоящее в том, что оба взятых изделия будут цветные. Тогда ,

а .