Понятие определенного интеграла
Определенным
интегралом от непрерывной функции
на отрезке
называется приращение какой-нибудь ее
первообразной на этом отрезке.
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
В
отличие от неопределенного интеграла
определенный интеграл есть число.
Геометрический смысл определенного
интеграла состоит в том, что он численно
равен площади фигуры, образованной
подынтегральной функцией, и прямыми
,
,
.
Пример
23. Найти
площадь фигуры, ограниченной параболой
и осью
.
Найдем
пределы интегрирования как точки
пересечения параболы с осью
.
При
,
,
,
,
.
Теперь найдем площадь как
(кв.
ед.)
Площадь
фигуры, заключенной между двумя линиями
и
,
вычисляется по формуле:
.
IV.
Дифференциальным уравнением 1-го порядка
с разделяющимися переменными
называется уравнение вида
.
Это наиболее простой тип дифференциальных
уравнений. Оно решается методом разделения
переменных, так чтобы при
была
функция от
,
а при
была функция от
.
Пример
24.
Так
как
,
то получим
Разделяя
переменные, получим
или
Теперь интегрируем обе части
Вычислим интегралы
Итак,
Отсюда
Это решение, в котором содержится одна произвольная постоянная, называется общим решением.
Если заданы начальные условия, то с их помощью можно найти произвольную постоянную и получить частное решение.
Например,
если заданы условия при
,
то, подставляя эти значения в общее
решение находим величину С.
,
Теперь находим соответствующее частное решение
.
10. Контрольная работа №2 вариант 0
1. Решить систему линейных уравнений:
а) методом Крамера,
б) методом Гаусса,
в) матричным методом.
2. В нижней палате парламента 40 депутатов, среди которых первая партия имеет 20 представителей, вторая – 12 представителей, третья 5 представителей, а остальные считают себя независимыми. Случайным образом выбирают трех депутатов. Вычислите вероятность того, что среди них: а) только представители первой партии; б) только один депутат из первой партии.
3. Два специалиста ОТК проверяют качество выпускаемых изделий, причем каждое изделие с одинаковой вероятностью может быть проверено любым из них. Вероятность выявления дефекта первым специалистом равна 0,8, а вторым 0,9. Из массы проверенных изделий наугад выбрано одно, оно оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку допустил второй контролер?
4. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
Х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
р |
0,05 |
0,12 |
0,18 |
0,30 |
р |
0,12 |
0,05 |
Найти:
а) неизвестную вероятность р;
б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить ее график.
5. При оценке качества продукции было установлено, что в среднем третья часть выпускаемой фабрикой обуви имеет различные дефекты отделки. Какова вероятность того, что в партии из 200 пар, поступившей в магазин: а) будут иметь дефекты отделки 60 пар; б) не будут иметь дефектов отделки от 120 до 148 пар.