51. Элементы комбинаторики.

Пусть имеется n различных объектов произвольной природы. Выберем из них

k объектов. Комбинаторика – это раздел математики, который изучает, сколькими

способами можно осуществить этот выбор согласно заданным условиям.

52. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Если объект А можно выбрать k1 различными способами, а объект В – k2 различными способами, то пару объектов А и В можно выбрать k1  k2 различными способами.

Правило сложения

Если объект А можно выбрать k1 различными способами, а объект В – k2 различными способами, то выбрать один объект А или В можно k1  k2 различными способами.

53. Условная вероятность. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Условная вероятность события d при данном s — это вероятность того, что событие d наступит при условии, что наступило событие s. Например, вероятность того, что пациент действительно страдает заболеванием d, если у него (или у нее) обнаружен только симптом s.

В традиционной теории вероятностей для вычисления условной вероятности события d при данном s используется следующая формула:

P(d|s)=(d^ s)/P(S)

Два события называют совместными если появления одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Суммой 2-х совместных событий называют событие, состоящее в появлении либо события A, либо события B, либо обоих сразу.

 Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB) 

Замечание: в этой теореме может существовать 2 различные ситуации.

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B),  где A и B - независимые;

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B∖A),  где A и B - зависимые;

54. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

События образуют полную группу, если хотя бы одно из них обязательно про-

изойдет в результате эксперимента.

Предположим, что событие A может наступить только вместе с одним из не-

скольких попарно несовместных событий H1, H 2 ,..., H n , образующих полную группу.

Будем называть события H i (i = 1, 2, … , n) гипотезами. Имеет место следующая

формула

которая называется формулой полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2,...,Bn образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности (12).

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменилось (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятность гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности:

PA(B1),PA(B2),...,PA(Bn)

Найдем сначала условную вероятность PA(B1). По теореме умножения имеем:

P(AB1)=P(A)•PA(B1)=P(B1)•PB1(A)

Отсюда . Заменив здесь Р(А) по формуле (12), получим:

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Bi (i=1,2,...,n) может быть вычислена по формуле:

(13)

Формулу (13) называют формулой Байеса (от имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764). Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.