- •Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами.
- •2.Определитель n-го порядка и их свойства.
- •Определители любого порядка. Свойства определителей.
- •6.Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными методом обратных матриц.
- •7. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса.
- •9. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
- •10. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника.
- •11. Линии первого порядка на плоскости.
- •12. Параллельность и перпендикулярность прямых.
- •13. Расстояние от точки до прямой.
- •14.Вектор. N-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами.
- •15. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Разложение вектора по базису.
- •16. Предел функций в точке. Арифметические операций над пределами.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •18. Бесконечно малые и бесконечно большие функций. Свойства.
- •Свойства бесконечно малых
- •19. Сравнение бесконечно малых.
- •22. Разрывы первого и второго рода.
- •23. Задача о производительности труда. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
- •Понятие производной
- •24.Основные правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования
- •25.Производные обратной и сложной функций.
- •26. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •27.Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
- •28.Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •29.Раскрытие неопределенностей.
- •30.Экстремумы функций. Необходимые и достаточные условие экстремума.
- •31.Наибольшее и наименьшее значение функций.
- •32.Выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой.
- •33.Асимптота графика функций. Общая схема исследования и построение графика функций.
- •34.Первообразная функций и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
- •41.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •42.Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •43.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Использование дифференциальных уравнении в экономике.
- •44. Определение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня функции двух переменных.
- •45. Частные производные. Полное производное и полный дифференциал.
- •46. Производная по направлению. Градиент функции.
- •47. Экстремум функции многих переменных (необходимое и достаточное условия).
- •48. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •49. Метод Лагранжа.
- •50. Классическое и статистическое определение вероятности.
- •51. Элементы комбинаторики.
- •52. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •53. Условная вероятность. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.
- •54. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
- •55. Формула Бернулли. Формула Пуассона.
- •56. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретных случайных величин.
- •57. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •58. Биноминальный закон распределения.
- •59. Непрерывная случайная величина. Закон распределения вероятностей и основные числовые характеристики.
- •60. Функция плотности вероятностей.
- •61. Нормальное распределение.
- •62. Неравенство и теорема Чебышева. Закон больших чисел.
- •63. Задача математической статистики. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения.
- •64. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
- •65. Интервальная оценка.
- •66. Корреляционный анализ. Линейная регрессия. Коэффициент корреляции.
26. Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть в интервале (a, b) задана функция f(x) и в каждой точке x (a, b) существует производная f '(x). Таким образом в интервале (a, b) задана функция y = f '(x) .
Если первая производная функция y = f '(x) дифференцируема в интервале (a, b), то ее производная называется второй производной функции f(x).
Вторая производная обозначается символами f ''(x) или
d2 f |
dx2 |
.
Вообще, производной n–го порядка функции f(x), называется производная от производной функции f(x) (n − 1)–го порядка. Производная n–го порядка обозначается f(n) (x).
Замечание. Если речь идет о производной n–го порядка ( n = 2, 3, … ) в фиксированной точке x0, то для существования f(n) (x0) необходимо существование f(n − 1) (x) не только в точке x0, но и в некоторой ее окрестности. При этом условии
|
f(n) (x0) =
f(n − 1) (x0). |
|
Функция, имеющая в точке производную n–го порядка, называется n раз дифференцируемой в этой точке.
Функция, имеющая в точке производные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в этой точке.
Формулы для производных n–го порядка суммы и произведения функций
Если функции u(x) и v(x) n раз дифференцируемы на некотором промежутке, то производная n–го порядка суммы определяется формулой
|
( u + v )(n) = u(n) + v(n) , |
|
а производная n–го порядка произведения определяется формулой Лейбница
|
( u · v)(n) = u(n) · v + n u(n − 1) · v' +
u(n − 2) · v'' + … + u · v(n) . |
|
Формула Лейбница может быть записана в виде
|
(u · v)(n) =
Cnk · u(n − k) v(k) , |
|
где u(0) = u(x), v(0) = v(x) и Cnk =
n! |
k! (n − k)! |
— биномиальные коэффициенты.
Дифференциалы высших порядков
Пусть в интервале (a, b) задана дважды дифференцируемая функция y = f(x), где x — независимая переменная.
Фиксируем приращение dx = Δx независимой переменной x, т.е. будем считать первый дифференциал
|
dy = f'(x) dx |
(1) |
функцией только переменной x.
Дифференциал от первого дифференциала, при условии, что повторное приращение независимой переменной x совпадает с первоначальным, называется вторым дифференциалом функции f(x) в точке x и обозначается d2 f(x).
Дифференцируем выражение в правой части (1) как произведение
|
d2 f(x) = d (df(x) ) = d (f'(x) dx) = f''(x) dx · dx + f'(x) · d(dx) . |
|
Учитывая, что d (dx) = 0, получаем формулу для вычисления второго дифференциала
|
d2 f(x) = f ''(x) dx2 . |
(2) |
Пусть в интервале (a, b) функция f(x) имеет производные до n–го порядка включительно.
Дифференциалом n–го порядка называется дифференциал от дифференциала (n − 1)–го порядка
|
dn f(x) = d (d(n − 1) f(x)). |
|
Формула для вычисления дифференциала n–го порядка
|
dn f(x) = f(n) (x) dxn . |
|
Неинвариантность формы дифференциала порядка выше первого
Рассмотрим случай, когда х является не независимой переменной, а функцией от другой переменной
|
y = f(x), x = (u). |
|
В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем
|
dy = f '(x) dx. |
(3) |
Теперь в правой части формулы (3) от переменной u зависит не только функция f(x), но и дифференциал dx . Следовательно
|
dx = '(u) du, d2 x = ''(u) du2 . |
|
Таким образом, в общем случае
|
d2 y = f''(x) dx2 + f'(x) d2 x. |
(4) |
Сравнивая формулы (2) и (4), убеждаемся, что дифференциалы второго (и более высоких порядков) не обладают инвариантностью формы.