- •Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами.
- •2.Определитель n-го порядка и их свойства.
- •Определители любого порядка. Свойства определителей.
- •6.Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными методом обратных матриц.
- •7. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса.
- •9. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
- •10. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника.
- •11. Линии первого порядка на плоскости.
- •12. Параллельность и перпендикулярность прямых.
- •13. Расстояние от точки до прямой.
- •14.Вектор. N-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами.
- •15. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Разложение вектора по базису.
- •16. Предел функций в точке. Арифметические операций над пределами.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •18. Бесконечно малые и бесконечно большие функций. Свойства.
- •Свойства бесконечно малых
- •19. Сравнение бесконечно малых.
- •22. Разрывы первого и второго рода.
- •23. Задача о производительности труда. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
- •Понятие производной
- •24.Основные правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования
- •25.Производные обратной и сложной функций.
- •26. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •27.Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
- •28.Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •29.Раскрытие неопределенностей.
- •30.Экстремумы функций. Необходимые и достаточные условие экстремума.
- •31.Наибольшее и наименьшее значение функций.
- •32.Выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой.
- •33.Асимптота графика функций. Общая схема исследования и построение графика функций.
- •34.Первообразная функций и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
- •41.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •42.Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •43.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Использование дифференциальных уравнении в экономике.
- •44. Определение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня функции двух переменных.
- •45. Частные производные. Полное производное и полный дифференциал.
- •46. Производная по направлению. Градиент функции.
- •47. Экстремум функции многих переменных (необходимое и достаточное условия).
- •48. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •49. Метод Лагранжа.
- •50. Классическое и статистическое определение вероятности.
- •51. Элементы комбинаторики.
- •52. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •53. Условная вероятность. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.
- •54. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
- •55. Формула Бернулли. Формула Пуассона.
- •56. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретных случайных величин.
- •57. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •58. Биноминальный закон распределения.
- •59. Непрерывная случайная величина. Закон распределения вероятностей и основные числовые характеристики.
- •60. Функция плотности вероятностей.
- •61. Нормальное распределение.
- •62. Неравенство и теорема Чебышева. Закон больших чисел.
- •63. Задача математической статистики. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения.
- •64. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
- •65. Интервальная оценка.
- •66. Корреляционный анализ. Линейная регрессия. Коэффициент корреляции.
33.Асимптота графика функций. Общая схема исследования и построение графика функций.
При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.
Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.
Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.
Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.
Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ
Пусть при x→ x0 с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. или или .
Т огда из определения асимптоты следует, что прямая x = x0 является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x0 является асимптотой, т. о. .
Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x0 – 0 или x → x0 + 0, x = x0
Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x0, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x0.
НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ
Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.
Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.
Доказательство. Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси Ox. Тогда из ΔMNP следует, что . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то , но
MN = MK – NK = y - yас = f(x) - (kx+b).
Следовательно, мы можем записать следующее равенство .
Так как x → +∞, то должно выполняться равенство . Но при постоянных k и b и . Следовательно, , т.е. .
Если число k уже известно, то , поэтому .
Для доказательства в случае x → –∞ все рассуждения аналогичны.
Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заметить, что выполняется равенство . Действительно
Следовательно, прямая y = kx + b есть асимптота. Теорема полностью доказана.
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.
Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы
.
Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.