1. Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами.

Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,….

Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойным индексом, например: a_ij, где i - номер строки, j - номер столбца.

Две матрицы A и B одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, a_ij = b_ij для любых i=1,2,…m; j=1,2,…n, виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)- строкой, а из одного столбца - матрицей (вектором)- столбцом: Элементы матрицы a_ij, у которых номер столбца равен номеру строки называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,…,a_nn. Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Операции над матрицами Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциями над числами, а некоторые - специфические. 1. Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А на число называется матрица B= A, элементы которой b_ij= a_ij для i=1,2,…m; j=1,2,…n Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m называется матрица С=А+В, элементы которой c_ij=a_ij+b_ij для i=1,2,…m; j=1,2,…n (т.е. матрицы складываются поэлементно).

3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A-B=A+(-1)∙B.

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц A_m ∙B _k называется такая матрица C_m , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

5.Возведение в степень. Целой положительной степенью (m квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е.

6.Транспонирование матрицы- переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А’ называется транспонированной относительно матрицы А.

2.Определитель n-го порядка и их свойства.

Определителем (детерминантом) – го порядка или определителем

(детерминантом) квадратной матрицы – го порядка называют алгебраическую сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.

Определитель второго порядка

Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали: Примеры определителей второго порядка: Определитель третьего порядка. Определителем третьего порядка называется следующее выражение: Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположного угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольников, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус.

Примеры определителей третьего порядка: