30. Парабола и её уравнение в полярных координатах.

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат: (или , если поменять местами оси).

31. Преобразования координат на плоскости: сдвиг, отражение, поворот.

Параллельный сдвиг осей: х = x' cos a - y' sin a + a; у = x' sin a + y' cos a + b.

Поворот осей: .

Параллельный сдвиг и поворот осей: .

32. Приведение уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду.

Укажем, как можно с помощью преобразований координат, рассмотренных в предыдущем параграфе, привести общее уравнение кривой второго порядка . к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы или параболы, или к случаям их выражения. С помощью поворота осей координат на некоторый угол α всегда можно избавиться от члена с произведением координат. Действительно, подставляя в (47) вместо x и y их выражения по формуле (43), получим новое уравнение , коэффициент которого a'₁₂ будет равен . Приравнивая коэффициент a'₁₂ к нулю, получим тригонометрическое уравнение . Отсюда получаем . Далее, по формулам тригонометрии, получаем нужные нам значения для sin α и cos α : , , . Следовательно, уравнение кривой в новых координатах O'x'y' примет вид: . Если в уравнении (50) , то говорят, что это уравнение определяет линию эллиптического типа; если же , то говорят, что уравнение определяет линию гиперболического типа и, если один из коэффициентов a'₁₁ или a'₂₂ равен нулю, то уравнение (50) определяет линию параболического типа. Далее с помощью параллельного переноса системы координат O'x'y' уравнение (50) всегда можно привести к виду: , т.е. фактически к каноническому виду. Из уравнения (51) следует, что мы имеем либо эллипс (если a'₁₁ и a'₂₂ одного знака, а a"₀ противоположного), либо мнимое место точек (если a'₁₁, a'₂₂, a"₀ имеют один знак), либо одну точку (если a'₁₁ и a'₂₂ имеют один знак, а a"₀ = 0), либо гиперболу (если a'₁₁ и a'₂₂ разных знаков и a"₀ ≠ 0), либо две пересекающие прямые (если a'₁₁ и a'₂₂ разных знаков и a"₀ = 0). Если же в уравнении (50) один из коэффициентов a'₁₁ и a'₂₂ , например, a'₂₂ обращается в нуль, то это уравнение с помощью переноса осей приведется к каноническому уравнению параболы при a'₂₂ ≠ 0 или к виду при a'₂₂ = 0, что дает или две параллельные прямые, или мнимое место точек. Отсюда следует, что всякая кривая 2-го порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо представляет собой их "вырождение".

33. Поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, конус.

Эллипсоид - поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых координатах, совпадающих с осями деформации эллипсоида: . Величины a, b, c называют полуосями эллипсоида. Также эллипсоидом называют тело, ограниченное поверхностью эллипсоида. Эллипсоид представляет собой одну из возможных форм поверхностей второго порядка. В случае, когда пара полуосей имеет одинаковую длину, эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом.

Гиперболоид (греч. от hyperbole — гипербола, и eidos — сходство). В математике гиперболоид - это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением (однополостный гиперболоид), где a и b - действительные полуоси, а c - мнимая полуось; или (двухполостный гиперболоид), где a и b - мнимые полуоси, а c - действительная полуось. При этом a, b и c - положительные числа. Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двухполостный - вокруг действительной. Двухполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: | AP − BP | = const. В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.

Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид: . Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой.