Оглавление

1. Комплексные числа: определение, алгебраическая форма записи, деление. 2

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль комплексного числа. Комплексное сопряжение и его свойства. 3

3. Полярные координаты на плоскости. Тригонометрическая форма записи кч. 4

4. Свойства модуля и аргумента кч. Ф-лы Муавра. 5

5. Ф-ла Эйлера. Показательная форма записи кч. 6

6. Тригонометрические и гиперболические ф-ции комплексного аргумента. 7

7. Матрицы. Различные виды матриц. 8

8. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. 10

9. Линейное пространство. Примеры линейных пространств. 11

10. Линейная зависимость и независимость векторов. 12

11. Размерность линейного пространства. Базис, координаты. 13

12. Определители второго порядка. 14

13. Общее определение определителя. Определители третьего порядка. 15

16. Разложение определителя по строке (столбцу). 15

14. Общие свойства определителя. 17

15. Вычисления определителя методом Гаусса. Определитель диагональной и треугольной матриц. 18

17. Ф-лы Крамера. 19

18. Проекции геометрического вектора на ось и компонента на оси, их свойства. 20

19. Линейность скалярного произведения и его координатное представление. Угол между векторами. 21

20. Векторное произведение и его основные свойства. 22

21. Координатное представление векторного произведения. 22

23. Линейность векторного произведения. 22

22. Смешанное произведение векторов и его свойства. 23

24. Двойное векторное произведение. 24

25. Плоскость в пространстве (основные виды уравнений). 25

26. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. 26

27. Уравнения прямой в пространстве. 27

28. Эллипс и его уравнение в полярных координатах. 28

29. Гипербола и её уравнение в полярных координатах. 29

30. Парабола и её уравнение в полярных координатах. 30

31. Преобразования координат на плоскости: сдвиг, отражение, поворот. 31

32. Приведение уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду. 32

33. Поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, конус. 33

34. Поверхности 2-го порядка: параболоиды, цилиндры. 34

35. Умножения матриц и его свойства. 35

36. Обратная матрица: определение и основные свойства. 36

37. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. 37

38. Матричные уравнения. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса. 38

39. Линейное пространство многочленов. Определитель Вандермонда. 39

40. Деление многочленов. Теорема Безу. 40

41. Кратность корня многочлена: определение, нахождение через производные. 41

42. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители (в тч на вещественные). 42

43. Разложение рациональной дроби на простейшие. 43

44. Собственные числа и собственные вектора матрицы. 44

45. Собственные подпространства. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного числа. 45

46. Преобразование подобия. Диагонализация матрицы. 46

1. Комплексные числа: определение, алгебраическая форма записи, деление.

Определение: Формально, комплексное число z - это упорядоченная пара вещественных чисел (x, y) с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения: (х, у)+(х’, у’)=(х+х’, у+у’); (х, у)*(х’, у’)=(хх’-уу’, ху’+ух’). Вещественные числа представлены в этой модели парами вида (х, 0), причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Мнимая единица в такой системе представляется парой i=(0, 1).

Алгебраическая форма: z=a+bi, i^2=(-1), где i - мнимая единица; a - действительная часть: a = Re(z); bi - мнимая часть: b = Im(z); числа вида bi - чисто мнимые; плоскость Oxy - комплексная плоскость; ось Ох - действительная ось; ось Oy - мнимая ось;

Действия над комплексными числами: если z1=a+bi, z2=c+di, то:

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; z1=z2 <=> a=c, b=d; z1*z2=(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1/z2=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2); i^4k=1, i^(4k+1)=i, i^(4k+2)=-1, i^(4k+3)=-i.