34. Поверхности 2-го порядка: параболоиды, цилиндры.

Параболоид - тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка. Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах: z = ax² + by²

1) если a и b одного знака, то параболоид называется эллиптическим.

2) если a и b разного знака, то параболоид называется гиперболическим.

3) если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

Эллиптический параболоид - поверхность, описываемая функцией вида , где a и b одного знака. Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх. Если a = b то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.

Гиперболический параболоид (называемый в строительстве «гипар») - седлообразная поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида . Из второго представления видно, что гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью. Поверхность может быть образована движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается со второй своей вершиной.

Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра); причём если оснований два, то одно получено из другого параллельным переносом вдоль образующей боковой поверхности цилиндра; и основание пересекает каждую образующую боковой поверхности ровно один раз.

35. Умножения матриц и его свойства.

Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго. Произведением матрицы А размерности m*p и матрицы В размерности p*n называется матрица С размерности m*n, каждый элемент которой определяется формулой: Таким образом, элемент представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Теорема (без доказательства). Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Замечание. Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей.

Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.

Итак, для любой квадратной матрицы А А*Е = Е*А =А.

36. Обратная матрица: определение и основные свойства.

Определение. Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Определение. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если А*В = В*А = Е. При этом В обозначается .

Теорема. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

Свойства обратных матриц. Укажем следующие свойства обратных матриц: 1) (A^(-1))^(-1) = A; 2) (AB)^(-1) = B^(-1)*A^(-1) 3) (A^(T))^(-1) = (A^(-1))^(T).