Определение комплексных чисел и общее правило арифметических действий над ними
z1 + z2 = z2 + z1.
z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3.
(Д2.47)
Сопряженные комплексные числа. Деление кч
Д ва комплексных числа z=x+iy и z=x-iy отличающиеся
л ишь знаком мнимой части, называются сопряженными
геометрическое изображение комплексных чисел
М одуль и аргумент КЧ
Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы КЧ
Ф ормула Муавра,извлечение корня из КЧ
Формула Муавра для комплексных чисел
, заданная в тригонометрической форме — формула
для любого
Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и правила для экспонент , верного, если b — целое число. (Если b — не целое, то — многозначная функция переменной a и — одно из её значений.)
Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром.
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:
Отметим, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке 0.
Деление многочлена с остатком, теорема Безу
Деление многочлена
Пусть P(x) и Q(x) - заданные многочлены и степень многочлена P(x) больше или равна степени многочлена Q(x). Если оказывается, что многочлен P(x) не делится (нацело) на многочлен Q(x), т.е. не существует многочлена G(x) такого, что P(x)=Q(x)G(x), то вводят операцию деления многочлена с остатком.
Разделить многочлен P(x) на многочлен Q(x) с остатком - это значит найти два многочлена G(x) и R(x) таких, что
P(x)=Q(x)G(x)+R(x),
Причем степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Q(x).
Многочлен P(x) называется делимым, Q(x) - делителем, G(x) - частным, R(x) - остатком. При делении многочлена P(x) на многочлен Q(x) многочлены G(x) и R(x) находятся однозначно. Теорема. Для любых двух многочленов P(x) и Q(x) ╪ 0 частное и остаток от деления P(x) на Q(x) существуют и единственны.
Т. Безу. Остатком при делении многочлена f(x) из на линейный многочлен (x-c) является константа f(c). Док-во: При делении f(x) на (x-c) получим: f(x)=q(x)(x-c)+r. Полагая x=c получим: f(с)=q(с)(с-c)+r=r.
Схема Горнера
Если то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид
где Остаток r находится по формуле
a[0]=q[0] a[1]=q[1]-q[0]c a[2]=q[2]-q[1]c ... a[n-1]=q[n-1]-q[n-2]c a[n]=r-q[n-1]c откуда: q[0]=a[0] q[1]=a[1]+q[0]c q[2]=a[2]+q[1]c ... q[n-1]=a[n-1]+q[n-2]c r=a[n]+q[n-1]c.
Основная теорема Алгебры. Разложение на множители многочлена с компл и действ коэфф
Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. или
Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.
Разложение многочлена степени n на множители Многочлен f(x) с комплексными коэффициентами
Здесь - различные корни многочлена кратностей соответственно
Многочлен f(x) с действительными коэффициентами
Здесь - различные действительные корни многочлена, кратностей соответственно - различные пары действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам (каждый множитель можно представить в виде где - пара сопряженных комплексных корней кратности ).
Признак взаимно простых многочленов
Для того, чтобы многочлены f(x) и g(x) из F[x] были взаимно простыми, необходимо и достаточно, чтобы в F[x] существовали такие u(x) и v(x), что u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. Док-во: - Необходимость: очевидно. - Достаточность: Пусть d(x) - НОД многочленов f(x) и g(x). Значит каждое из слагаемых левой части делится на d(x). А значит и правая часть делится на d(x). Следовательно d(x) - ненулевая константа.
Рациональные дроби и разложение их на простейшие методом неопределённых коэффициентов
Рациональная дробь - это число, представленное в виде дроби, например a / b, где a - числитель, b - знаменатель. A и B могут представлять собой целые числа, а также переменные.
Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на элементарные дроби.
Пусть p(z) и q(z) — многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена p(z) меньше степени многочлена q(z), коэффициент при старшем члене многочлена q(z) равен 1, zi ― корни многочлена q(z) с кратностями αi, следовательно,
Функция p / q представима, и притом единственным образом, в виде суммы элементарных дробей
где Ai,j ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно степени q). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно Ai,j.
Примечание. Нахождение неизвестных можно упростить, если q(z) имеет некратные корни zj. После умножения на z − zj последнего равенства и подстановки z = zj непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента .
Матрицы и действия над ними
О пределители 2, 3 и n-го порядка
М инором Mij элемента aij (i,j=1,n) называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из определителя n-го порядка, вычерчиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическое дополнение Aij элемента Aij определяется равенством
Aij=(-1)i+j Mij
Для произвольного натурального числа (теорема Лапласа, разложение по i-строке)
Пример Для определителя III-го порядка (при i = 1):
для определителя IV-го порядка:
С войства определителей
Разложение определителя по строке или столбцу
По элементам i-й строки:
По элементам j-го столбца:
Например, при n = 4 разложение по первой строке
Определитель произведения матриц
О пределитель матрицы равен нулю, если , и равен сумме попарных произведений соответствующих друг другу миноров порядка , если (сумма берется по всем наборам столбцов матрицы и строк матрицы с возрастающими номерами ).
Пусть
Т огда
и соответствующие миноры имеют вид
при всех i < j, принимающих значения от 1 до n.
Ф ормула Бине — Коши в этом случае дает равенство
и з которого (в случае, когда все ai и bi являются вещественными числами) вытекает неравенство Коши — Буняковского:
Формула Крамера для решения системы линейных уравнений
Обратная матрица и ее вычисление
Свойства обратной матрицы и новый вывод формул Крамера
1. Определитель обратной матрицы обратно пропорционален определителю начальной матрицы
. (4.1.1)
Д о к а з а т е л ь с т в о :
А-1А = E, следовательно, , а отсюда следует (4.1.1).
2. Обратная матрица произведения двух матриц равна произведению обратных матриц сомножителей, взятых в обратном порядке
(АВ)-1 = В-1А-1. (4.1.2)
Д о к а з а т е л ь с т в о :
АВ(В-1А-1) = А(ВВ-1)А-1 = АЕА-1 = АА = Е
и
В-1А-1(АВ) = В-1(А-1А)В = В-1ЕВ = В-1В = Е.
Следовательно, по определению (2.1) В-1А-1 - обратная матрица для АВ.
3. Транспонированная обратная матрица равна обратной транспонированной матрице
(А-1) = (А)-1. (4.1.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о :
По определению (2.1) А-1А = Е, тогда
(А-1А) = А(А-1) =Е = Е.
Умножим это равенство на (А/)-1:
(А)-1А(А-1) = (А)-1Е,
следовательно,
(А-1) = (А)-1.